Nos últimos anos, a distribuição de Weibull tem sido usada para modelar emissões de poluentes de vários motores. Seja X o valor da emissão de NOx (g/gal) a partir de certo tipo de motor selecionado aleatoriamente e suponha que X possua uma distribuição de Weibull com alpha=2 e beta=10. Qual o valor c, que separa os 5 % de todos os motores que emitem as maiores quantidades de NOx dos 95 % restantes? Resposta: c approx 17,3

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a emissão de NOx, X, segue uma distribuição de Weibull com parâmetros alpha = 2 e beta = 10. A pergunta é: qual é o valor c que separa os 5% dos motores com maiores emissões dos 95% restantes?
Conteúdo: percentil (quantil) de uma distribuição contínua.
O que vamos precisar:
  1. A função de distribuição acumulada (CDF) da Weibull.
  2. Entender que separar os 5% superiores equivale a achar o ponto onde F(c) = 0.95.
  3. Operações com logaritmo para inverter a CDF.

Passo 2

Primeiro, lembra que a CDF de uma variável Xsim Weibull(alpha,beta) é
F(x) = P(X <= x) ;=; 1 - expl[-l(tfracxbetar)^alphar], x>=0
Como queremos c tal que os 5% maiores estejam acima de c, isso significa
P(X > c) = 0.05Longrightarrow P(X <= c) = F(c) = 0.95

Passo 3

Então basta resolver na CDF:
1 - expl[-(c/10)^2r] = 0.95
Passo a passo:
1) Isolo a parte exponencial:
expl[-(c/10)^2r] = 1 - 0.95 = 0.05
  1. Aplico logaritmo natural dos dois lados: -(c/10)^2 = ln(0.05)
    3) Passo o sinal negativo:
    (c/10)^2 = -,ln(0.05)
  2. Tiro a raiz quadrada e multiplico por 10: c = 10,raiz-ln(0.05)

Passo 4

Agora é só calcular numericamente:
  1. ln(0.05)approx -2.995732274,, logo -,ln(0.05)approx 2.995732274.
  2. raiz2.995732274approx 1.7308.
  3. Multiplicando por 10: c approx 10times 1.7308 = 17.308

Resposta

c approx 17,3 g/gal.

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