Nos últimos anos, a distribuição de Weibull tem sido usada para modelar emissões de poluentes de vários motores. Seja
o valor da emissão de NOx (g/gal) a partir de certo tipo de motor selecionado aleatoriamente e suponha que
possua uma distribuição de Weibull com
e
. Qual o valor
, que separa os
de todos os motores que emitem as maiores quantidades de NOx dos
restantes? Resposta:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a emissão de NOx,
, segue uma distribuição de Weibull com parâmetros
e
. A pergunta é: qual é o valor
que separa os 5% dos motores com maiores emissões dos 95% restantes?
Conteúdo: percentil (quantil) de uma distribuição contínua.
O que vamos precisar:
Conteúdo: percentil (quantil) de uma distribuição contínua.
O que vamos precisar:
- A função de distribuição acumulada (CDF) da Weibull.
- Entender que separar os 5% superiores equivale a achar o ponto onde
. - Operações com logaritmo para inverter a CDF.
Passo 2
Primeiro, lembra que a CDF de uma variável
é
Como queremos
Passo 3
Então basta resolver na CDF:
Passo a passo:
1) Isolo a parte exponencial:
- Aplico logaritmo natural dos dois lados:
3) Passo o sinal negativo:
- Tiro a raiz quadrada e multiplico por 10:
Passo 4
Agora é só calcular numericamente:
-
, logo . -
. - Multiplicando por 10: