Un condutor cilíndrico extremamente longo, de raio a, conduz corrente elétrica com densidade de corrente I=K r^2 x, onde K é uma constante, r é a distância ao eixo do condutor, e widehatx é o vetor unitário da direção ao longo desse eixo.
(b) Calcule o campo magnético produzido por essa corrente em um ponto qualquer dentro do condutor, ou seja, para r.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta um condutor cilíndrico extremamente longo com raio $ a $, que conduz uma corrente elétrica cuja densidade de corrente é dada por $ \vec{I} = K r^{2} \hat{x} $. Nosso objetivo aqui é calcular o campo magnético produzido por essa corrente em um ponto dentro do condutor, ou seja, onde $ r < a $.
Conteúdo da matéria: Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de Eletromagnetismo, mais especificamente a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao fluxo de corrente que o gera.
O que vamos precisar:
  • Compreender a distribuição da densidade de corrente.
  • Aplicar a Lei de Ampère de forma adequada.
  • Integrar a densidade de corrente para encontrar a corrente total encerrada.

Passo 2

Primeiramente, precisamos entender a densidade de corrente $ \vec{I} = K r^{2} \hat{x} $. Isso significa que a intensidade da corrente depende do quadrado da distância $ r $ ao eixo do cilindro e flui na direção $ \hat{x} $, ao longo do eixo do cilindro.

Passo 3

Para encontrar o campo magnético $ \vec{B} $ dentro do condutor, usaremos a Lei de Ampère, que é dada por:
B
Onde:
  • $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado.
  • $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo.
  • $ I_{enc} $ é a corrente total encerrada pelo caminho.

Passo 4

Assumindo a simetria cilíndrica, o campo magnético $ \vec{B} $ terá a mesma magnitude em todo o caminho circular de raio $ r $ e será perpendicular ao vetor diferencial $ d\vec{l} $. Portanto, a integral de linha simplifica para:
B

Passo 5

Agora, precisamos determinar a corrente encerrada $ I_{enc} $ dentro do raio $ r < a $. A densidade de corrente $ J® = K r^{2} $, então a corrente total é:
Ienc
Integrando:
r < a

Passo 6

Substituindo $ I_{enc} $ na equação da Lei de Ampère:
Ienc
Resolvendo para $ B® $:
B(r) cdot 2pi r = mu0 cdot pi K r^42

Resposta

O campo magnético dentro do condutor para $ r < a $ é dado por:
r < a

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