Un condutor cilíndrico extremamente longo, de raio
, conduz corrente elétrica com densidade de corrente
, onde
é uma constante,
é a distância ao eixo do condutor, e
é o vetor unitário da direção ao longo desse eixo.
(b) Calcule o campo magnético produzido por essa corrente em um ponto qualquer dentro do condutor, ou seja, para
.
(b) Calcule o campo magnético produzido por essa corrente em um ponto qualquer dentro do condutor, ou seja, para
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta um condutor cilíndrico extremamente longo com raio $ a $, que conduz uma corrente elétrica cuja densidade de corrente é dada por $ \vec{I} = K r^{2} \hat{x} $. Nosso objetivo aqui é calcular o campo magnético produzido por essa corrente em um ponto dentro do condutor, ou seja, onde $ r < a $.
Conteúdo da matéria: Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de Eletromagnetismo, mais especificamente a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao fluxo de corrente que o gera.
O que vamos precisar:
- Compreender a distribuição da densidade de corrente.
- Aplicar a Lei de Ampère de forma adequada.
- Integrar a densidade de corrente para encontrar a corrente total encerrada.
Passo 2
Primeiramente, precisamos entender a densidade de corrente $ \vec{I} = K r^{2} \hat{x} $. Isso significa que a intensidade da corrente depende do quadrado da distância $ r $ ao eixo do cilindro e flui na direção $ \hat{x} $, ao longo do eixo do cilindro.
Passo 3
Para encontrar o campo magnético $ \vec{B} $ dentro do condutor, usaremos a Lei de Ampère, que é dada por:
Onde:
- $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado.
- $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo.
- $ I_{enc} $ é a corrente total encerrada pelo caminho.
Passo 4
Assumindo a simetria cilíndrica, o campo magnético $ \vec{B} $ terá a mesma magnitude em todo o caminho circular de raio $ r $ e será perpendicular ao vetor diferencial $ d\vec{l} $. Portanto, a integral de linha simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos determinar a corrente encerrada $ I_{enc} $ dentro do raio $ r < a $. A densidade de corrente $ J® = K r^{2} $, então a corrente total é:
Integrando:
Passo 6
Substituindo $ I_{enc} $ na equação da Lei de Ampère:
Resolvendo para $ B® $:
Resposta
O campo magnético dentro do condutor para $ r < a $ é dado por: