Un condutor cilíndrico extremamente longo, de raio
, conduz corrente elétrica com densidade de corrente
, onde
é uma constante,
é a distância ao eixo do condutor, e
é o vetor unitário da direção ao longo desse eixo.
(a) Calcule o campo magnético produzido por essa corrente em um ponto qualquer fora do condutor, ou seja, para
.
(a) Calcule o campo magnético produzido por essa corrente em um ponto qualquer fora do condutor, ou seja, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro condutor bem comprido, com raio $ a $, que está carregando uma corrente elétrica. A densidade de corrente é dada por $ \vec{I} = K r^{2} \hat{x} $, onde $ K $ é uma constante, $ r $ é a distância do eixo do cilindro, e $ \hat{x} $ é a direção ao longo do eixo. Nosso objetivo aqui é calcular o campo magnético gerado por essa corrente em um ponto que está fora do cilindro, ou seja, quando $ r > a $. Para isso, vamos usar conceitos de Eletromagnetismo, mais especificamente a Lei de Ampère.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Ampère é muito útil para calcular campos magnéticos em situações com alta simetria. Ela diz que a integral do campo magnético $ \vec{B} $ ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética $ \mu_0 $ multiplicada pela corrente total $ I_{enc} $ que passa por esse caminho. Matematicamente, fica assim:
No nosso caso, como o cilindro é bem longo e a distribuição de corrente é simétrica radialmente, vamos escolher um caminho circular ao redor do eixo do cilindro para aplicar a Lei de Ampère.
Passo 3
Vamos definir nosso caminho de Ampère como um círculo de raio $ r $ (onde $ r > a $) centrado no eixo do cilindro. Devido à simetria, o campo magnético $ \vec{B} $ terá a mesma magnitude em todos os pontos desse círculo e será sempre tangente ao caminho. Isso significa que podemos simplificar a integral da Lei de Ampère:
Agora, precisamos calcular a corrente total $ I_{enc} $ que está dentro desse caminho. Como $ r > a $, toda a corrente dentro do cilindro está incluída no nosso caminho de Ampère.
Passo 4
A densidade de corrente é $ \vec{I} = K r^{2} \hat{x} $. Para encontrar a corrente total dentro do cilindro, integramos a densidade de corrente sobre a área da seção transversal do cilindro:
Agora, substituímos $ I_{enc} $ na Lei de Ampère:
Resolvendo para $ B $:
Resposta
O campo magnético no ponto fora do condutor ($ r > a $) é dado por:
Onde $ \hat{\phi} $ é a direção tangencial ao caminho circular considerado.