Una bombilla eléctrica de 60 W a 110 V se conecta por error a la red de 220 V ; luce durante unos momentos con gran brillo y acaba por fundirse. Calcúlese: 1) La potencia efectiva manifestada por la bombilla en su conexión errónea. 2) La resistencia que habría que haber intercalado en serie con la bombilla en su conexión a la red de 220 V para que hubiera funcionado correctamente. 3) La potencia total puesta en juego en el caso anterior y los \mathrm{kW} \cdot \mathrm{h} consumidos por el sistema resistencia bombilla durante 24 h de funcionamiento.

Passo 1

O enunciado dá uma bombilla (lâmpada) cuja potência nominal é 60\\ \mathrm{W} quando alimentada com 110\\ \mathrm{V}. Por erro ela foi ligada a uma rede de 220\\ \mathrm{V}, brilhou muito e queimou. Pedidos:
  1. Calcular a potência efetiva que a lâmpada manifestou quando foi ligada diretamente a 220\\ \mathrm{V}.
  2. Calcular a resistência que deveria ter sido colocada em série com a lâmpada para que, ligada a 220\\ \mathrm{V}, ela funcionasse corretamente (ou seja, recebendo 110\\ \mathrm{V}).
  3. No caso em que se coloca essa resistência em série, calcular (a) a potência total dissipada pelo conjunto resistência+lâmpada e (b) a energia consumida em 24\\ \mathrm{h} em \mathrm{kW\cdot h}.
Dados relevantes extraídos do enunciado: potência nominal da lâmpada P_{\text{nom}}=60\\ \mathrm{W} a V_{\text{nom}}=110\\ \mathrm{V}; tensão de rede errada V_{\text{red}}=220\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar a resistência da lâmpada em seu funcionamento normal (quando ela entrega 60\\ \mathrm{W} a 110\\ \mathrm{V}). A fórmula que liga potência, tensão e resistência é a versão de Ohm/Lei de Joule:
P=\frac{V^{2}}{R}.
Aqui P é a potência elétrica (em watts), V a tensão sobre o componente (em volts) e R a resistência (em ohms). Podemos isolar R:
R=\frac{V^{2}}{P}.
Aplicando aos valores da lâmpada:
R_{\text{lâmpada}}=\frac{110^{2}}{60}=\frac{12100}{60}=\frac{605}{3}\\ \Omega.â
Em forma decimal isso é aproximadamente
R_{\text{lâmpada}}\approx 201,67\\ \Omega.â
(Interpretação física: a lâmpada, no seu ponto de funcionamento, tem essa resistência eficaz.)

Passo 3

Agora calculamos a potência que a lâmpada iria dissipar se fosse submetida directamente a 220\\ \mathrm{V}. Usamos de novo a mesma fórmula, com V=220\\ \mathrm{V} e a resistência encontrada:
P'=\frac{V_{\text{red}}^{2}}{R_{\text{lâmpada}}}=\frac{220^{2}}{605/3}.â
Mas há um atalho algebraico simples: como 220=2\cdot110, então 220^{2}=4\cdot110^{2}. Assim
P'=\frac{4\cdot110^{2}}{110^{2}/60}=4\cdot60=240\\ \mathrm{W}.
Explicação didática: dobrar a tensão (mantendo a mesma resistência) faz a potência aumentar por um fator 2^{2}=4. Portanto a lâmpada de 60\\ \mathrm{W} teria, momentaneamente, dissipado 240\\ \mathrm{W}, muito acima do projetado, por isso queimou.

Passo 4

Agora devemos achar R_{\text{serie}} tal que, ao ligar a combinação em série a 220\\ \mathrm{V}, a lâmpada tenha exatamente 110\\ \mathrm{V} sobre ela. Existem dois caminhos equivalentes; eu vou mostrar os dois (é bom saber ambos para a prova) e usar o que é mais direto.
Método A — divisão de tensão (conceito): numa série, a tensão se reparte segundo as resistências. Se queremos que a lâmpada tenha metade da tensão total ( 110 de 220), precisamos que a resistência da lâmpada seja metade da resistência total, isto é,
\frac{110}{220}=\frac{1}{2}=\frac{R_{\text{lâmpada}}}{R_{\text{lâmpada}}+R_{\text{serie}}}.ââ
Daí R_{\text{lâmpada}}+R_{\text{serie}}=2R_{\text{lâmpada}}ââ, logo
R_{\text{serie}}=R_{\text{lâmpada}}.â
Portanto R_{\text{serie}}=\dfrac{605}{3}\\ \Omega\approx201,67\\ \Omega.
Método B — corrente e queda de tensão (mais mecânico): a corrente desejada é a corrente nominal da lâmpada quando funciona a 110\\ \mathrm{V}:
I=\frac{P_{\text{nom}}}{V_{\text{nom}}}=\frac{60}{110}=\frac{6}{11}\\ \mathrm{A}\approx0,54545\\ \mathrm{A}.
Para que a lâmpada tenha 110\\ \mathrm{V} quando ligada a 220\\ \mathrm{V}, a resistência em série deve causar a queda de tensão restante 220-110=110\\ \mathrm{V} à mesma corrente I. Assim
R_{\text{serie}}=\frac{110}{I}=\frac{110}{6/11}=110\cdot\frac{11}{6}=\frac{1210}{6}=\frac{605}{3}\\ \Omega,
o que coincide com o resultado do método A. Num exame é bom mostrar pelo menos um desses argumentos; o segundo é útil quando não é uma metade perfeita.

Passo 5

Calcular a potência total dissipada pelo arranjo (resistor em série + lâmpada) e a energia em 24\\ \mathrm{h}.
A corrente no circuito, com a resistência em série escolhida, é a corrente nominal já calculada:
I=\frac{6}{11}\\ \mathrm{A}\approx0,54545\\ \mathrm{A}.
Potência na lâmpada: por construção é a nominal 60\\ \mathrm{W}.
Potência no resistor série:
P_{\text{res}}=I^{2}R_{\text{serie}}.
Mas como R_{\text{serie}}=R_{\text{lâmpada}}â e a corrente é a mesma, será
P_{\text{res}}=P_{\text{lâmpada}}=60\\ \mathrm{W}.â
Logo a potência total fornecida pela rede é a soma:
P_{\text{total}}=P_{\text{lâmpada}}+P_{\text{res}}=60+60=120\\ \mathrm{W}.â
Energia consumida em 24\\ \mathrm{h}:
E=P_{\text{total}}\times 24\\ \mathrm{h}=120\\ \mathrm{W}\cdot 24\\ \mathrm{h}=2880\\ \mathrm{Wh}=2,88\\ \mathrm{kW\cdot h}.
Interpretação prática: metade da potência fornecida vai à lâmpada (útil), e metade se perde no resistor (na forma de calor). Isso é ineficiente, mas protege a lâmpada.

Resposta

\text{1) }P' = 240\\ \mathrm{W}
\text{2) }R_{\text{serie}}=\dfrac{605}{3}\\ \Omega \approx 201,67\\ \Omega
\text{3) }P_{\text{total}}=120\\ \mathrm{W};\quad E_{24\\ \mathrm{h}}=2,88\\ \mathrm{kW\cdot h}

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