Una esfera metálica de 10 cm de radio tiene una carga de 1 mC . Se pide calcular en unidades del SI: 1) La capacidad de la esfera. 2) El potencial en un punto de su superficie. 3) La energía eléctrica que tiene almacenada la esfera. 4) La densidad eléctrica superficial

Passo 1

O enunciado dá uma esfera metálica com raio e carga, e pede quatro quantidades. Dados fornecidos (já convertidos para SI):
R = 10\\ \text{cm} = 0,10\\ \mathrm{m}
Q = 1\\ \text{mC} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{C}
O que pede:
  1. A capacidade (capacitância) da esfera.
  2. O potencial elétrico em um ponto da sua superfície.
  3. A energia elétrica armazenada na esfera.
  4. A densidade de carga superficial na superfície da esfera.

Passo 2

Entender o que é capacitância e qual fórmula usar. Capacitância C de um condutor isolado é definida por
C=\frac{Q}{V}
onde Q é a carga e V o potencial do condutor em relação ao infinito. Para uma esfera condutora isolada de raio R o potencial na superfície é o mesmo que o de uma carga pontual Q colocada no centro, isto é
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e vale aproximadamente
\varepsilon_0 = 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Substitindo V em C=Q/V obtemos a fórmula clássica da capacitância da esfera:
C=4\pi\varepsilon_0 R.
Explicação das variáveis: C em farads ( \mathrm{F}), \varepsilon_0 em \mathrm{F/m}, R em metros. Essa fórmula vem do fato de que a esfera se comporta, fora dela, como uma carga pontual.

Passo 3

Calcular numericamente a capacitância usando a fórmula obtida.
Primeiro calculemos 4\pi\varepsilon_0:
4\pi\varepsilon_0 \approx 4\pi\cdot 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx 1,112650056\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
Agora multiplica-se por R=0,10\\ \mathrm{m}:
C = 4\pi\varepsilon_0 R \approx 1,112650056\times10^{-10}\cdot 0,10\\ \mathrm{F} =1,112650056\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
C \approx 1,11\times10^{-11}\\ \mathrm{F} = 11,1\\ \mathrm{pF}.

Passo 4

Calcular o potencial na superfície. Podemos usar V=\dfrac{Q}{C} ou a forma com a constante de Coulomb k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Vou usar k porque é direto:
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8,987551792\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
Então
V = k\,\frac{Q}{R}.
Substituindo os valores:
V \approx 8,987551792\times10^{9}\cdot\frac{1\times10^{-3}}{0,10}\\ \mathrm{V} =8,987551792\times10^{7}\\ \mathrm{V}.
Arredondando:
V \approx 8,99\times10^{7}\\ \mathrm{V}.
Comentário: é um potencial muito grande porque a carga é relativamente alta e o raio pequeno.

Passo 5

Calcular a energia elétrica armazenada U. Fórmulas equivalentes para energia de um capacitor são
U=\frac{1}{2}CV^{2}=\frac{Q^{2}}{2C}.
Usamos a forma U=\dfrac{Q^{2}}{2C} porque temos Q e C calculados. Já temos Q^{2}=(1\times10^{-3})^{2}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{C^{2}}. E C\approx1,112650056\times10^{-11}\\ \mathrm{F}. Então
U=\frac{1\times10^{-6}}{2\cdot 1,112650056\times10^{-11}}\\ \mathrm{J} =\frac{1\times10^{-6}}{2,225300112\times10^{-11}}\\ \mathrm{J}.
Fazendo a divisão:
U\approx 4,494\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
U \approx 4,49\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Observação alternativa (para checar): usando U=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0 R} dá o mesmo resultado.

Passo 6

Calcular a densidade de carga superficial \sigma. Para uma esfera condutora a carga fica distribuída uniformemente sobre a superfície; a densidade superficial é
\sigma=\frac{Q}{4\pi R^{2}}.
Calculemos a área 4\pi R^{2}:
4\pi R^{2}=4\pi\cdot(0,10)^{2}=4\pi\cdot 0,01\\ \mathrm{m^{2}}\approx 0,1256637061\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora
\sigma=\frac{1\times10^{-3}}{0,1256637061}\\ \mathrm{C/m^{2}}\approx 7,957747\times10^{-3}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Arredondando:
\sigma\approx 7,96\times10^{-3}\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Resposta

  1. C \approx 1,11\times10^{-11}\\ \mathrm{F}
  2. V \approx 8,99\times10^{7}\\ \mathrm{V}
  3. U \approx 4,49\times10^{4}\\ \mathrm{J}
  4. \sigma \approx 7,96\times10^{-3}\\ \mathrm{C/m^{2}}

Exercícios relacionados