Una esfera metálica de 10 cm de radio tiene una carga de 1 mC . Se pide calcular en unidades del SI: 1) La capacidad de la esfera. 2) El potencial en un punto de su superficie. 3) La energía eléctrica que tiene almacenada la esfera. 4) La densidad eléctrica superficial
Passo 1
O enunciado dá uma esfera metálica com raio e carga, e pede quatro quantidades. Dados fornecidos (já convertidos para SI):
O que pede:
- A capacidade (capacitância) da esfera.
- O potencial elétrico em um ponto da sua superfície.
- A energia elétrica armazenada na esfera.
- A densidade de carga superficial na superfície da esfera.
Passo 2
Entender o que é capacitância e qual fórmula usar. Capacitância
de um condutor isolado é definida por
onde
é a carga e
o potencial do condutor em relação ao infinito. Para uma esfera condutora isolada de raio
o potencial na superfície é o mesmo que o de uma carga pontual
colocada no centro, isto é
Aqui
é a permissividade do vácuo e vale aproximadamente
Substitindo
em
obtemos a fórmula clássica da capacitância da esfera:
Explicação das variáveis:
em farads (
),
em
,
em metros. Essa fórmula vem do fato de que a esfera se comporta, fora dela, como uma carga pontual.
Passo 3
Calcular numericamente a capacitância usando a fórmula obtida.
Primeiro calculemos :
Primeiro calculemos
Agora multiplica-se por
:
Arredondando com 3 algarismos significativos:
Passo 4
Calcular o potencial na superfície. Podemos usar
ou a forma com a constante de Coulomb
. Vou usar
porque é direto:
Então
Substituindo os valores:
Arredondando:
Comentário: é um potencial muito grande porque a carga é relativamente alta e o raio pequeno.
Passo 5
Calcular a energia elétrica armazenada
. Fórmulas equivalentes para energia de um capacitor são
Usamos a forma
porque temos
e
calculados. Já temos
. E
. Então
Fazendo a divisão:
Arredondando:
Observação alternativa (para checar): usando
dá o mesmo resultado.
Passo 6
Calcular a densidade de carga superficial
. Para uma esfera condutora a carga fica distribuída uniformemente sobre a superfície; a densidade superficial é
Calculemos a área
:
Agora
Arredondando: