Una tornamesa de madera de 120 kg con forma de disco plano tiene 2.00 m de radio y gira inicialmente alrededor de un eje vertical, que pasa por su centro, a
. De repente, un paracaidista de 70.0 kg se posa suavemente sobre la tornamesa en un punto cerca del borde.
Calcule la energía cinética del sistema antes y después de la llegada del paracaidista. ¿Por qué no son iguales estas energias?
Calcule la energía cinética del sistema antes y después de la llegada del paracaidista. ¿Por qué no son iguales estas energias?
Passo 1
Então, temos uma tornamesa de madeira com massa de 120 kg e raio de 2,00 m que gira a 3,00 rad/s. De repente, um paraquedista de 70,0 kg aterrissa suavemente perto da borda da tornamesa. Vamos calcular a energia cinética do sistema antes e depois do paraquedista chegar. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética inicial da tornamesa antes do paraquedista aterrissar. A energia cinética rotacional é dada por:
Aqui,
é o momento de inércia da tornamesa e
é a velocidade angular.
Passo 3
O momento de inércia de um disco sólido (que é o caso da tornamesa) é calculado por:
Onde
e
. Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética inicial:
Passo 5
Depois que o paraquedista de 70,0 kg aterrissa na tornamesa, o sistema total passa a ter um novo momento de inércia. O paraquedista pode ser considerado como uma massa pontual na borda da tornamesa. O momento de inércia dele é:
Passo 6
O momento de inércia total após o paraquedista aterrissar é a soma dos momentos de inércia da tornamesa e do paraquedista:
Passo 7
Vamos usar a conservação do momento angular para encontrar a nova velocidade angular
após o paraquedista aterrissar. Como não há torque externo, o momento angular inicial é igual ao final:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, vamos calcular a energia cinética final do sistema:
Resposta
A energia cinética inicial da tornamesa era de 1080 J e, após o paraquedista aterrissar, a energia cinética do sistema passou para aproximadamente 494 J. Essas energias não são iguais porque, embora o momento angular seja conservado, parte da energia foi dissipada durante o processo de aterrissagem do paraquedista.