Una tornamesa de madera de 120 kg con forma de disco plano tiene 2.00 m de radio y gira inicialmente alrededor de un eje vertical, que pasa por su centro, a 3.00 rad / s. De repente, un paracaidista de 70.0 kg se posa suavemente sobre la tornamesa en un punto cerca del borde.
Calcule la energía cinética del sistema antes y después de la llegada del paracaidista. ¿Por qué no son iguales estas energias?

Passo 1

Então, temos uma tornamesa de madeira com massa de 120 kg e raio de 2,00 m que gira a 3,00 rad/s. De repente, um paraquedista de 70,0 kg aterrissa suavemente perto da borda da tornamesa. Vamos calcular a energia cinética do sistema antes e depois do paraquedista chegar. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética inicial da tornamesa antes do paraquedista aterrissar. A energia cinética rotacional é dada por:
Ecin inicial = 12 Itornamesa omega^2
Aqui, é o momento de inércia da tornamesa e é a velocidade angular.

Passo 3

O momento de inércia de um disco sólido (que é o caso da tornamesa) é calculado por:
Itornamesa = 12 M R^2
Onde Itornamesa = 12 times 120, kg times (2,00, m)^2 = 12 times 120 times 4 = 240, kg·m^2 e . Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética inicial:
Ecin inicial = 12 times 240, kg·m^2 times (3,00, rad/s)^2 = 12 times 240 times 9 = 1080, J

Passo 5

Depois que o paraquedista de 70,0 kg aterrissa na tornamesa, o sistema total passa a ter um novo momento de inércia. O paraquedista pode ser considerado como uma massa pontual na borda da tornamesa. O momento de inércia dele é:
Iparaquedista = m R^2 = 70,0, kg times (2,00, m)^2 = 70,0 times 4 = 280, kg·m^2

Passo 6

O momento de inércia total após o paraquedista aterrissar é a soma dos momentos de inércia da tornamesa e do paraquedista:
Itotal = Itornamesa + Iparaquedista = 240, kg·m^2 + 280, kg·m^2 = 520, kg·m^2

Passo 7

Vamos usar a conservação do momento angular para encontrar a nova velocidade angular Itornamesa omega = Itotal omega' após o paraquedista aterrissar. Como não há torque externo, o momento angular inicial é igual ao final:
omega' = Itornamesa omegaItotal = 240, kg·m^2 times 3,00, rad/s520, kg·m^2 = 720520 approx 1,38, rad/s
Resolvendo para :

Passo 8

Agora, vamos calcular a energia cinética final do sistema:
Ecin final = 12 Itotal (omega')^2 = 12 times 520, kg·m^2 times (1,38, rad/s)^2 approx 12 times 520 times 1,90 approx 494, J

Resposta

A energia cinética inicial da tornamesa era de 1080 J e, após o paraquedista aterrissar, a energia cinética do sistema passou para aproximadamente 494 J. Essas energias não são iguais porque, embora o momento angular seja conservado, parte da energia foi dissipada durante o processo de aterrissagem do paraquedista.

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