Em t=0 o átomo de hidrogênio encontra-se na autofunção
psi(r, 0)=1raiz10(2|100rang<=+|210rang<=+raiz2|211rang<=+raiz3|21-1rang<=),
na base |n l mrang<=. Ignore o spin.
Como essa função de onda evolui no tempo? Isto é, como é psi(r, t)?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um átomo de hidrogênio cuja função de onda no tempo inicial ( t=0) é uma combinação de diferentes autofunções na base |n , l , mrang<=. O conteúdo principal aqui é a evolução temporal das funções de onda em mecânica quântica. Para resolver isso, precisamos saber como cada autofunção evolui com o tempo, ou seja, como aplicar a equação de Schrödinger dependente do tempo para cada estado.

Passo 2

Primeiro, lembramos que cada autofunção |n , l , mrang<= é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo, com uma energia própria En. Na mecânica quântica, a evolução temporal de uma autofunção é dada por um fator de fase que depende dessa energia. A fórmula geral para a evolução temporal de uma autofunção é:
|n , l , mrang<=t = e^-i En thbar |n , l , mrang<=
Aqui, i é a unidade imaginária, hbar é a constante de Planck reduzida, e En é a energia associada ao nível quântico n.

Passo 3

Agora, aplicamos essa ideia à função de onda inicial dada:
psi(r, 0) = 1raiz10(2|100rang<= + |210rang<= + raiz2|211rang<= + raiz3|21-1rang<=)
Cada termo dessa soma representa uma autofunção com seu respectivo nível de energia. Vamos atribuir E1 para o estado |100rang<= e E2 para os estados |210rang<=, |211rang<= e |21-1rang<=, assumindo que todos os estados com o mesmo n possuem a mesma energia.

Passo 4

Aplicamos a evolução temporal a cada termo da função de onda:
psi(r, t) = 1raiz10(2 e^-i E1 thbar|100rang<= + e^-i E2 thbar|210rang<= + raiz2 e^-i E2 thbar|211rang<= + raiz3 e^-i E2 thbar|21-1rang<=)

Passo 5

Podemos fatorar o termo comum e^-i E2 thbar dos estados que compartilham a mesma energia para simplificar a expressão:
psi(r, t) = 1raiz10(2 e^-i E1 thbar|100rang<= + e^-i E2 thbar(|210rang<= + raiz2|211rang<= + raiz3|21-1rang<=))

Resposta

A função de onda evolui no tempo da seguinte forma:
psi(r, t) = 1raiz10(2 e^-i E1 thbar,|100rang<= + e^-i E2 thbar,|210rang<= + raiz2, e^-i E2 thbar,|211rang<= + raiz3, e^-i E2 thbar,|21-1rang<=)

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