Em
o átomo de hidrogênio encontra-se na autofunção
na base
. Ignore o spin.
Como essa função de onda evolui no tempo? Isto é, como é
?
Como essa função de onda evolui no tempo? Isto é, como é
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um átomo de hidrogênio cuja função de onda no tempo inicial (
) é uma combinação de diferentes autofunções na base
. O conteúdo principal aqui é a evolução temporal das funções de onda em mecânica quântica. Para resolver isso, precisamos saber como cada autofunção evolui com o tempo, ou seja, como aplicar a equação de Schrödinger dependente do tempo para cada estado.
Passo 2
Primeiro, lembramos que cada autofunção
é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo, com uma energia própria
. Na mecânica quântica, a evolução temporal de uma autofunção é dada por um fator de fase que depende dessa energia. A fórmula geral para a evolução temporal de uma autofunção é:
Aqui,
é a unidade imaginária,
é a constante de Planck reduzida, e
é a energia associada ao nível quântico
.
Passo 3
Agora, aplicamos essa ideia à função de onda inicial dada:
Cada termo dessa soma representa uma autofunção com seu respectivo nível de energia. Vamos atribuir
para o estado
e
para os estados
,
e
, assumindo que todos os estados com o mesmo
possuem a mesma energia.
Passo 4
Aplicamos a evolução temporal a cada termo da função de onda:
Passo 5
Podemos fatorar o termo comum
dos estados que compartilham a mesma energia para simplificar a expressão:
Resposta
A função de onda evolui no tempo da seguinte forma: