(UNAERP-SP) Determine o volume de uma cunha esférica, fabricada a partir de uma esfera de 6 m de diâmetro e um ângulo diedro de 36^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma cunha esférica obtida a partir de uma esfera de diâmetro 6 m, recortada por dois planos que passam pelo centro e formam um ângulo diedro de 36\circ. O conteúdo é fração do volume de uma esfera proporcional ao ângulo diedro.

Passo 2

O raio da esfera é metade do diâmetro:\r
R = \frac{6}{2} = 3\text{ m}.\r
O ângulo diedro em radianos é\r
\alpha = 36^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{5}.

Passo 3

Uma cunha esférica que ocupa um ângulo diedro \alpha corresponde à fração \tfrac{\alpha}{2\pi} do volume total da esfera. Assim, se o volume da esfera é \tfrac{4}{3}\pi R^3, o volume da cunha é\r
V = \frac{\alpha}{2\pi}\;\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi R^3\Bigr) = \frac{2\,\alpha\,R^3}{3}.

Passo 4

Substituindo R=3 e \alpha=\tfrac{\pi}{5}:\r
V = \frac{2}{3}\,\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr)\,3^3 = \frac{2\cdot\pi\cdot27}{3\cdot5} = \frac{54\pi}{15} = \frac{18\pi}{5}\text{ m}^3.

Resposta

V = \frac{18\pi}{5}\text{ m}^3.

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