1*Ouestão(valor
)
Esboce a região exterior à curva polar de equação
e interior à curva polar
e calcule sua área usando integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região e calcular a sua área por integral dupla.
Informações dadas:
- A curva polar
é um círculo de raio (em coordenadas polares centrado na origem). - A curva polar
é um “rosa” de pétalas (porque o fator em dá três pétalas quando é ímpar), com máximo radial . - A região solicitada é "exterior à curva
e interior à curva ". Ou seja, os pontos da região satisfazem sempre que isso fizer sentido (isto é, quando ).
Pergunta a responder:
- Calcular a área da região descrita (usar integral dupla em coordenadas polares).
Passo 2
Lembrete prático sobre integrais em coordenadas polares (aula rápida e essencial):
- Em coordenadas polares um elemento de área é
. Aqui é a distância ao centro (origem) e é o ângulo polar. - Para uma região descrita por
e variando em um intervalo , a área é
- A integral interna em
dá . Vou usar isso depois.
Passo 3
Determinar para quais
existe região (isto é, onde
).
Defina
Como
ocorre, no ciclo principal
, quando
e de forma análoga nos intervalos deslocados por
:
o que em termos de
corresponde a três intervalos simétricos de largura
cada um. Explicitamente, um dos intervalos em
é
e os outros dois são obtidos somando
e
a esse intervalo. Por simetria as três pétalas contribuem igualmente para a área buscada, então basta calcular a contribuição de uma pétala e multiplicar por
.
Passo 4
Montar a integral da área. Para cada
do intervalo onde
temos
variando de
até
. Assim, a área total é
Usando a simetria (3 parcelas iguais) e a fórmula interna:
Simplificando:
Agora faça a substituição
, então
e, quando
vai de
até
,
vai de
até
. Assim
O
cancela:
Passo 5
Calcular a integral explicitamente, passo a passo.
Use a identidade
. Então
Logo o integrando fica
Portanto
Integramos termo a termo:
Assim
Avalie nos limites:
Agrupando termos:
Usando
obtemos
Então
Agora expresse
em função de
. Sabemos
, logo
Portanto
Substituindo em
:
Simplificando o primeiro termo:
Lembrando
, finalmente:
Se desejar um valor numérico aproximado, com
, obtém-se
Passo 6
Breve comentário geométrico (para o esboço): a curva
tem três pétalas simétricas centradas em torno das direções
(ou equivalentes) e cada pétala alcança raio máximo
. A região pedida corresponde aos pedaços de cada pétala que ficam fora do círculo
; por isso aparecem três componentes simétricas da região, e a conta acima soma essas três contribuições.