1*Ouestão(valor =25 )

Esboce a região exterior à curva polar de equação r=3 e interior à curva polar r=8 \operatorname{sen}(3 \theta) e calcule sua área usando integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região e calcular a sua área por integral dupla.
Informações dadas:
  • A curva polar \,r=3\, é um círculo de raio 3 (em coordenadas polares centrado na origem).
  • A curva polar \,r=8\sin(3\theta)\, é um “rosa” de 3 pétalas (porque o fator 3 em \sin(3\theta) dá três pétalas quando n é ímpar), com máximo radial 8.
  • A região solicitada é "exterior à curva \,r=3\, e interior à curva \,r=8\sin(3\theta)\,". Ou seja, os pontos da região satisfazem \,3\le r\le 8\sin(3\theta)\, sempre que isso fizer sentido (isto é, quando 8\sin(3\theta)\ge 3).
Pergunta a responder:
  • Calcular a área da região descrita (usar integral dupla em coordenadas polares).

Passo 2

Lembrete prático sobre integrais em coordenadas polares (aula rápida e essencial):
  • Em coordenadas polares um elemento de área é \,dA = r\,dr\,d\theta\,. Aqui \,r\, é a distância ao centro (origem) e \,\theta\, é o ângulo polar.
  • Para uma região descrita por \,a(\theta)\le r\le b(\theta)\, e \,\theta variando em um intervalo I, a área é
\text{Área}=\iint dA=\int_{I}\left(\int_{a(\theta)}^{b(\theta)} r\,dr\right)d\theta.Á
  • A integral interna em r \displaystyle\int_{a}^{b} r\,dr=\frac{1}{2}\big(b^2-a^2\big). Vou usar isso depois.

Passo 3

Determinar para quais \theta existe região (isto é, onde \,8\sin(3\theta)\ge 3).
Defina
\alpha=\arcsin\!\left(\frac{3}{8}\right).
Como \sin(3\theta)\ge \dfrac{3}{8} ocorre, no ciclo principal [0,2\pi), quando
3\theta\in[\alpha,\\ \pi-\alpha]\quad\text{(primeira pétala positiva)},é
e de forma análoga nos intervalos deslocados por 2\pi:
3\theta\in[2\pi+\alpha,\\\ 3\pi-\alpha]\quad\text{e}\quad 3\theta\in[4\pi+\alpha,\\\ 5\pi-\alpha],
o que em termos de \theta corresponde a três intervalos simétricos de largura \dfrac{\pi-2\alpha}{3} cada um. Explicitamente, um dos intervalos em \theta é
\theta\in\left[\frac{\alpha}{3},\\ \frac{\pi-\alpha}{3}\right],
e os outros dois são obtidos somando \tfrac{2\pi}{3} e \tfrac{4\pi}{3} a esse intervalo. Por simetria as três pétalas contribuem igualmente para a área buscada, então basta calcular a contribuição de uma pétala e multiplicar por 3.

Passo 4

Montar a integral da área. Para cada \theta do intervalo onde 8\sin(3\theta)\ge 3 temos r variando de 3 até 8\sin(3\theta). Assim, a área total é
A= \sum_{\text{3 pétalas}} \int_{\theta_{\text{in}}}^{\theta_{\text{out}}} \left(\int_{r=3}^{r=8\sin(3\theta)} r\,dr\right)d\theta.é
Usando a simetria (3 parcelas iguais) e a fórmula interna:
A=3\int_{\theta=\frac{\alpha}{3}}^{\frac{\pi-\alpha}{3}}\frac{1}{2}\Big((8\sin(3\theta))^2-3^2\Big)\,d\theta.
Simplificando:
A=\frac{3}{2}\int_{\frac{\alpha}{3}}^{\frac{\pi-\alpha}{3}}\big(64\sin^2(3\theta)-9\big)\,d\theta.
Agora faça a substituição u=3\theta, então du=3\,d\theta e, quando \theta vai de \dfrac{\alpha}{3} até \dfrac{\pi-\alpha}{3}, u vai de \alpha até \pi-\alpha. Assim
A=\frac{3}{2}\int_{u=\alpha}^{\pi-\alpha}\big(64\sin^2 u-9\big)\cdot\frac{du}{3}.
O 3 cancela:
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\pi-\alpha}\big(64\sin^2 u-9\big)\,du.

Passo 5

Calcular a integral explicitamente, passo a passo.
Use a identidade \sin^2 u=\dfrac{1-\cos(2u)}{2}. Então
64\sin^2 u = 64\cdot\frac{1-\cos(2u)}{2}=32-32\cos(2u).
Logo o integrando fica
64\sin^2 u-9 = (32-32\cos(2u)) - 9 = 23 - 32\cos(2u).
Portanto
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\pi-\alpha}\big(23-32\cos(2u)\big)\,du.
Integramos termo a termo:
\int(23)\,du = 23u,\qquad \int \cos(2u)\,du = \tfrac{1}{2}\sin(2u).
Assim
A=\frac{1}{2}\Big[23u -32\cdot\frac{1}{2}\sin(2u)\Big]_{\alpha}^{\pi-\alpha} =\frac{1}{2}\Big[23u -16\sin(2u)\Big]_{\alpha}^{\pi-\alpha}.
Avalie nos limites:
A=\frac{1}{2}\Big( 23(\pi-\alpha)-16\sin(2(\pi-\alpha)) \;-\; \big(23\alpha -16\sin(2\alpha)\big)\Big).
Agrupando termos:
A=\frac{1}{2}\Big(23(\pi-2\alpha)-16\big(\sin(2\pi-2\alpha)-\sin(2\alpha)\big)\Big).
Usando \sin(2\pi-2\alpha)=-\sin(2\alpha) obtemos
\sin(2\pi-2\alpha)-\sin(2\alpha) = -\sin(2\alpha)-\sin(2\alpha) = -2\sin(2\alpha).
Então
A=\frac{1}{2}\Big(23(\pi-2\alpha)-16(-2\sin(2\alpha))\Big) =\frac{1}{2}\Big(23(\pi-2\alpha)+32\sin(2\alpha)\Big).
Agora expresse \sin(2\alpha) em função de \sin\alpha. Sabemos \sin\alpha=\dfrac{3}{8}, logo
\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{8}\right)^2}=\sqrt{\frac{55}{64}}=\frac{\sqrt{55}}{8}.
Portanto
\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{\sqrt{55}}{8} = \frac{3\sqrt{55}}{32}.
Substituindo em A:
A=\frac{1}{2}\Big(23(\pi-2\alpha)+32\cdot\frac{3\sqrt{55}}{32}\Big) =\frac{1}{2}\big(23(\pi-2\alpha)\big)+\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{55}.
Simplificando o primeiro termo:
\frac{1}{2}\cdot 23(\pi-2\alpha)=\frac{23}{2}\pi -23\alpha.
Lembrando \alpha=\arcsin\!\left(\dfrac{3}{8}\right), finalmente:
A=\frac{23}{2}\pi -23\arcsin\!\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{3\sqrt{55}}{2}.
Se desejar um valor numérico aproximado, com \arcsin(3/8)\approx 0{,}3843967, obtém-se
A\approx 38{,}4125.

Passo 6

Breve comentário geométrico (para o esboço): a curva r=8\sin(3\theta) tem três pétalas simétricas centradas em torno das direções \theta=\dfrac{\pi}{6},\\ \dfrac{\pi}{2},\\ \dfrac{5\pi}{6} (ou equivalentes) e cada pétala alcança raio máximo 8. A região pedida corresponde aos pedaços de cada pétala que ficam fora do círculo r=3; por isso aparecem três componentes simétricas da região, e a conta acima soma essas três contribuições.

Resposta

A=\frac{23}{2}\pi -23\arcsin\!\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{3\sqrt{55}}{2}

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