A função é um logaritmo natural cujo argumento é \dfrac{x}{4}.
O domínio natural da função é \,x>0, pois o logaritmo natural exige argumento positivo.
Objetivo: encontrar g'(x), a derivada de g em termos de x.
Passo 2
Lembração útil sobre logaritmos (identidade algébrica):
\ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln A - \ln B,
válida para A>0 e B>0. Aplicando com A=x e B=4 obtemos uma forma mais simples da função:
g(x)=\ln\!\left(\frac{x}{4}\right)=\ln x - \ln 4.
Aqui \ln 4 é uma constante (número real fixo).
Passo 3
Regra de derivação que vamos usar (explicada didaticamente):
A derivada de \ln x em relação a x é \dfrac{1}{x} para x>0. Um modo simples de ver isso é começar com y=\ln x, então x=e^{y}. Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x):
1=\frac{d}{dx}\big(e^{y}\big)=e^{y}\frac{dy}{dx}.
Como e^{y}=x, segue \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}. Portanto \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.
A derivada de uma constante (como \ln 4) é 0.
Aplicando essas regras à expressão simplificada g(x)=\ln x - \ln 4:
A derivada \dfrac{1}{x} só faz sentido no domínio da função original, ou seja para \,x>0.
Em provas: pode-se responder \,g'(x)=\dfrac{1}{x} lembrando de mencionar (se pedirem) que vale para \,x>0.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (faz no exame rápido assim):
Se h(x)=\ln(5x), pode-se escrever h(x)=\ln 5+\ln x e obter h'(x)=1/x. Ou usar chain rule: u(x)=5x\Rightarrow u'=5, então h'=5/(5x)=1/x.
Se k(x)=\ln(ax+b), então k'(x)=\dfrac{a}{ax+b} pela regra da cadeia.
Passo 7
Resumo amigo: duas vias simples — simplificar usando propriedades dos logaritmos e derivar, ou aplicar diretamente a regra da cadeia. Ambas chegam a \dfrac{1}{x}. Vai dar certo na prova, respira e faz calma!