1^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: ( \mathbf{3 0} pontos) Calcule as derivadas abaixo.
(10 pontos) g(x)=\ln \left(\frac{x}{4}\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada da função
g(x)=\ln\!\left(\frac{x}{4}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é um logaritmo natural cujo argumento é \dfrac{x}{4}.
  • O domínio natural da função é \,x>0, pois o logaritmo natural exige argumento positivo.
  • Objetivo: encontrar g'(x), a derivada de g em termos de x.

Passo 2

Lembração útil sobre logaritmos (identidade algébrica):
\ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln A - \ln B,
válida para A>0 e B>0. Aplicando com A=x e B=4 obtemos uma forma mais simples da função:
g(x)=\ln\!\left(\frac{x}{4}\right)=\ln x - \ln 4.
Aqui \ln 4 é uma constante (número real fixo).

Passo 3

Regra de derivação que vamos usar (explicada didaticamente):
  • A derivada de \ln x em relação a x é \dfrac{1}{x} para x>0. Um modo simples de ver isso é começar com y=\ln x, então x=e^{y}. Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x):
1=\frac{d}{dx}\big(e^{y}\big)=e^{y}\frac{dy}{dx}.
Como e^{y}=x, segue \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}. Portanto \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.
  • A derivada de uma constante (como \ln 4) é 0.
Aplicando essas regras à expressão simplificada g(x)=\ln x - \ln 4:
g'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)-\frac{d}{dx}(\ln 4)=\frac{1}{x}-0=\frac{1}{x}.

Passo 4

Método alternativo (chain rule) — mostra como fazer direto sem simplificar:
Se g(x)=\ln(u(x)), então pela regra da cadeia
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=\dfrac{x}{4}. Calculando u'(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{4}\right)=\frac{1}{4}. Logo
g'(x)=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{x}{4}}=\frac{1}{x},
que dá o mesmo resultado.

Passo 5

Observação sobre domínio e validade:
  • A derivada \dfrac{1}{x} só faz sentido no domínio da função original, ou seja para \,x>0.
  • Em provas: pode-se responder \,g'(x)=\dfrac{1}{x} lembrando de mencionar (se pedirem) que vale para \,x>0.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (faz no exame rápido assim):
  • Se h(x)=\ln(5x), pode-se escrever h(x)=\ln 5+\ln x e obter h'(x)=1/x. Ou usar chain rule: u(x)=5x\Rightarrow u'=5, então h'=5/(5x)=1/x.
  • Se k(x)=\ln(ax+b), então k'(x)=\dfrac{a}{ax+b} pela regra da cadeia.

Passo 7

Resumo amigo: duas vias simples — simplificar usando propriedades dos logaritmos e derivar, ou aplicar diretamente a regra da cadeia. Ambas chegam a \dfrac{1}{x}. Vai dar certo na prova, respira e faz calma!

Resposta

g'(x)=\dfrac{1}{x}

Exercícios relacionados