1^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: ( \mathbf{3 0} pontos) Calcule as derivadas abaixo.
( \mathbf{1 0} pontos) f(x)=\operatorname{arcsen}\left(2 e^{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\operatorname{arcsen}\!\bigl(2e^{x}\bigr).
  • Não há nenhum outro dado numérico; a tarefa é obter f'(x).

Passo 2

Recordando uma fórmula fundamental que vamos usar: a derivada da função composta \varphi(x)=\psi\bigl(u(x)\bigr) é dada pela regra da cadeia,
\varphi'(x)=\psi'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui \psi é a função exterior (a que toma u como entrada) e u(x) é a função interior. Em palavras: derivar a função exterior avaliando-a na entrada interior e multiplicar pela derivada da entrada.

Passo 3

Precisamos da derivada da função exterior \psi(t)=\operatorname{arcsen}(t). A fórmula conhecida (e que vale para todo t com |t|<1) é
\frac{d}{dt}\operatorname{arcsen}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Explico por que, de forma curta e intuitiva: a função \operatorname{arcsen} é a inversa de \sin (no ramo considerado), e a derivada da inversa é o inverso da derivada da função original avaliada na inversa; isso leva à expressão acima. Não é necessário derivar essa fórmula aqui; vamos aplicá‑la.

Passo 4

Identificamos a composição:
  • função exterior \psi(t)=\operatorname{arcsen}(t);
  • função interior u(x)=2e^{x}.
Agora calculamos a derivada da interior:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2e^{x}\bigr)=2\frac{d}{dx}e^{x}=2e^{x},
pois a derivada de e^{x} é e^{x} e constantes multiplicam.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=\psi'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^{2}}}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=2e^{x} e u'(x)=2e^{x} obtemos
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(2e^{x}\bigr)^{2}}}\cdot 2e^{x}.

Passo 6

Simplificando a expressão ao reconhecer \bigl(2e^{x}\bigr)^{2}=4e^{2x}:
f'(x)=\frac{2e^{x}}{\sqrt{1-4e^{2x}}}.

Passo 7

Observação sobre domínio e validade da derivada (importante para provas): a função \operatorname{arcsen} exige que a entrada esteja em [-1,1]. Como 2e^{x}>0 para todo x, isso impõe
2e^{x}\le 1 \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\le \tfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad x\le -\ln 2.
Assim o domínio de f é (-\infty,-\ln 2]. A expressão para f'(x) tem raiz no denominador e só é finita quando 1-4e^{2x}>0, isto é quando x<-\ln 2. No ponto x=-\ln 2 a derivada explode (denominador zero). Portanto a derivada existe e é dada pela fórmula acima para todo x<-\ln 2.

Resposta

f'(x)=\frac{2e^{x}}{\sqrt{1-4e^{2x}}},\qquad \text{para }x<-\ln 2.

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