O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
A função é f(x)=\operatorname{arcsen}\!\bigl(2e^{x}\bigr).
Não há nenhum outro dado numérico; a tarefa é obter f'(x).
Passo 2
Recordando uma fórmula fundamental que vamos usar: a derivada da função composta \varphi(x)=\psi\bigl(u(x)\bigr) é dada pela regra da cadeia,
\varphi'(x)=\psi'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui \psi é a função exterior (a que toma u como entrada) e u(x) é a função interior. Em palavras: derivar a função exterior avaliando-a na entrada interior e multiplicar pela derivada da entrada.
Passo 3
Precisamos da derivada da função exterior \psi(t)=\operatorname{arcsen}(t). A fórmula conhecida (e que vale para todo t com |t|<1) é
Explico por que, de forma curta e intuitiva: a função \operatorname{arcsen} é a inversa de \sin (no ramo considerado), e a derivada da inversa é o inverso da derivada da função original avaliada na inversa; isso leva à expressão acima. Não é necessário derivar essa fórmula aqui; vamos aplicá‑la.
Simplificando a expressão ao reconhecer \bigl(2e^{x}\bigr)^{2}=4e^{2x}:
f'(x)=\frac{2e^{x}}{\sqrt{1-4e^{2x}}}.
Passo 7
Observação sobre domínio e validade da derivada (importante para provas): a função \operatorname{arcsen} exige que a entrada esteja em [-1,1]. Como 2e^{x}>0 para todo x, isso impõe
Assim o domínio de f é (-\infty,-\ln 2]. A expressão para f'(x) tem raiz no denominador e só é finita quando 1-4e^{2x}>0, isto é quando x<-\ln 2. No ponto x=-\ln 2 a derivada explode (denominador zero). Portanto a derivada existe e é dada pela fórmula acima para todo x<-\ln 2.