7^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Dados os pontos A=(1,3,2), B=(4,2,-1) e C=(3,2,1). Determine a altura relativa ao lado B C do triângulo formado por esses vértices.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço: A=(1,3,2), B=(4,2,-1) e C=(3,2,1). A pergunta é: determine a altura relativa ao lado BC do triângulo formado por esses vértices.
Informações relevantes dadas: A=(1,3,2), B=(4,2,-1), C=(3,2,1).
Passo 2
O que queremos calcular é a distância do ponto A à reta que passa por B e C — essa distância é justamente a altura relativa ao lado BC. Uma fórmula muito útil é
onde \vec{BA} é o vetor que vai de B para A e \vec{BC} o vetor de B para C. Vou explicar por que essa fórmula funciona: o módulo do produto vetorial \|\vec{BA}\times\vec{BC}\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{BA} e \vec{BC}. Esse paralelogramo tem base \|\vec{BC}\| e altura igual à distância do ponto A à reta BC. Assim área = base \times altura, ou seja \|\vec{BA}\times\vec{BC}\|=\|\vec{BC}\|\cdot h. Isolando h obtemos a fórmula acima.
Passo 3
Vamos calcular os vetores \vec{BA} e \vec{BC} por subtração coordenada a coordenada:
\vec{BA}=A-B=(1-4,\;3-2,\;2-(-1))=(-3,\;1,\;3),
\vec{BC}=C-B=(3-4,\;2-2,\;1-(-1))=(-1,\;0,\;2).
Aqui eu usei diretamente as coordenadas dadas para A,B,C.
Passo 4
Agora calculamos o produto vetorial \vec{BA}\times\vec{BC}. Usamos a regra do determinante:
Expandindo componente a componente:
a componente em \mathbf{i} é 1\cdot 2 - 3\cdot 0 = 2.
a componente em \mathbf{j} é -\big((-3)\cdot 2 - 3\cdot(-1)\big) = -(-6+3)=3.
a componente em \mathbf{k} é (-3)\cdot 0 - 1\cdot(-1)=0+1=1.
Portanto