7^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Dados os pontos A=(1,3,2), B=(4,2,-1) e C=(3,2,1). Determine a altura relativa ao lado B C do triângulo formado por esses vértices.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço: A=(1,3,2), B=(4,2,-1) e C=(3,2,1). A pergunta é: determine a altura relativa ao lado BC do triângulo formado por esses vértices.
Informações relevantes dadas:
A=(1,3,2), B=(4,2,-1), C=(3,2,1).

Passo 2

O que queremos calcular é a distância do ponto A à reta que passa por B e C — essa distância é justamente a altura relativa ao lado BC. Uma fórmula muito útil é
h=\frac{\| \vec{BA}\times\vec{BC}\|}{\|\vec{BC}\|},
onde \vec{BA} é o vetor que vai de B para A e \vec{BC} o vetor de B para C. Vou explicar por que essa fórmula funciona: o módulo do produto vetorial \|\vec{BA}\times\vec{BC}\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{BA} e \vec{BC}. Esse paralelogramo tem base \|\vec{BC}\| e altura igual à distância do ponto A à reta BC. Assim área = base \times altura, ou seja \|\vec{BA}\times\vec{BC}\|=\|\vec{BC}\|\cdot h. Isolando h obtemos a fórmula acima.

Passo 3

Vamos calcular os vetores \vec{BA} e \vec{BC} por subtração coordenada a coordenada:
\vec{BA}=A-B=(1-4,\;3-2,\;2-(-1))=(-3,\;1,\;3),
\vec{BC}=C-B=(3-4,\;2-2,\;1-(-1))=(-1,\;0,\;2).
Aqui eu usei diretamente as coordenadas dadas para A,B,C.

Passo 4

Agora calculamos o produto vetorial \vec{BA}\times\vec{BC}. Usamos a regra do determinante:
\vec{BA}\times\vec{BC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -3 & 1 & 3 \\[4pt] -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}.
Expandindo componente a componente:
a componente em \mathbf{i} é 1\cdot 2 - 3\cdot 0 = 2.
a componente em \mathbf{j} é -\big((-3)\cdot 2 - 3\cdot(-1)\big) = -(-6+3)=3.
a componente em \mathbf{k} é (-3)\cdot 0 - 1\cdot(-1)=0+1=1.
Portanto
\vec{BA}\times\vec{BC}=(2,\;3,\;1).]

Passo 5

Agora o módulo do produto vetorial:
\|\vec{BA}\times\vec{BC}\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.
Expliquei cada termo: somamos os quadrados das componentes e tiramos raiz quadrada.

Passo 6

Calculamos o módulo de \vec{BC}:
\|\vec{BC}\|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}.

Passo 7

Aplicando a fórmula da Passo 2:
h=\frac{\|\vec{BA}\times\vec{BC}\|}{\|\vec{BC}\|}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{14}{5}}.
Se preferir outra forma equivalente,
h=\frac{\sqrt{70}}{5}.
Uma aproximação numérica para ter noção: \sqrt{\tfrac{14}{5}}\approx 1{,}6733.

Resposta

\sqrt{\dfrac{14}{5}}

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