8^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Dados os pontos A=(-4,2,0), B=(2,2,1) e C=(5,-1,3). Determine a altura relativa ao lado A B do triângulo formado por esses vértices.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço e pede a altura relativa ao lado A B do triângulo formado por esses vértices. As informações fornecidas são:
A = (-4,2,0),\qquad B = (2,2,1),\qquad C = (5,-1,3).
O que é pedido: a distância (comprimento da altura) do vértice C à reta que passa por A e B, ou seja, a altura relativa ao lado A B.
Passo 2
Entendendo o que é a “altura relativa ao lado A B”: geometricamente é a distância do ponto C à reta que contém o segmento A B. Em geometria vetorial, se tomamos um vetor diretor da reta A B, que chamaremos de \vec{u}, e o vetor que liga um ponto da reta (por exemplo A) ao ponto C, que chamaremos de \vec{w}, então a distância do ponto C à reta é dada pela fórmula
Aqui \times é o produto vetorial (cross product) e \|\cdot\| é o comprimento (norma) do vetor. Vou explicar cuidadosamente cada passo e calcular tudo explicitamente.
Passo 3
Primeiro definimos os vetores necessários.
O vetor diretor da reta A B é
\vec{u} = \overrightarrow{AB} = B-A.
Substituindo as coordenadas:
\vec{u} = (2-(-4),\;2-2,\;1-0) = (6,0,1).
O vetor que liga A a C é
\vec{w} = \overrightarrow{AC} = C-A.
Substituindo:
\vec{w} = (5-(-4),\;-1-2,\;3-0) = (9,-3,3).
Passo 4
Agora vou calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{w}.
Recordando a regra para o produto vetorial de \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3):
Se quiser uma aproximação numérica (apenas para intuição), \sqrt{46}\approx 6{,}782 e \sqrt{37}\approx 6{,}083, então \text{dist}\approx \dfrac{3\cdot 6{,}782}{6{,}083}\approx 3{,}342. Mas o resultado exato em forma fechada é preferível.