Questão: Sejam
e
. Determine os vetores
e
que cumprem as seguintes condições:
(1)
;
(2)
;
(3)
.
(1)
(2)
(3)
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede para determinar vetores
e
tais que:
(1) é paralelo a
(escrevo isso como
);
(2) é perpendicular a
(ou seja,
);
(3) .
(1)
(2)
(3)
Informações relevantes dadas:
,
,
queremos paralelo a
e
perpendicular a
com
.
queremos
Passo 2
Ideia para resolver (sem ainda calcular): como
é paralelo a
, podemos escrever
como múltiplo escalar de
. Ou seja, existe um número real
tal que
Como
, temos
. A condição de perpendicularidade
vai nos permitir encontrar
. Agora vamos explicar e aplicar o produto escalar para achar
.
Passo 3
Lembrete (explicação didática): o produto escalar entre dois vetores
e
é
Propriedade útil: se um vetor é múltiplo de outro,
. Usando
e a condição
, temos:
Daí isolamos
:
Esta
é exatamente o coeficiente que dá a projeção de
sobre
. Agora vamos calcular os produtos escalares concretos.
Passo 4
Calculemos
e
pelo método do produto escalar (cada termo multiplicado e somado):
Fazendo as multiplicações:
Agora
Passo 5
Com esses valores, calculamos
:
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Passo 6
Agora obtemos
. Multiplicamos cada componente de
por
:
Mostrei passo a passo:
,
,
.
Passo 7
Calculamos
. Subtraímos componente a componente (passando
para frações com denominador
facilita):
Então
Fazendo as subtrações:
Passo 8
Verificações rápidas (para eu e você ficarmos tranquilos):
- Soma
:
ou seja,
está correta.
2) Ortogonalidade :
2) Ortogonalidade
portanto
é perpendicular a
.
Tudo confere.
Tudo confere.