\mathbf{6}^{\mathbf{a}} Questão: Sejam u=(1,4,-2) e v=(2,5,-1). Determine os vetores v_{1} e v_{2} que cumprem as seguintes condições:
(1) v_{1} \| u;
(2) v_{2} \perp u;
(3) v=v_{1}+v_{2}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,4,-2) e v=(2,5,-1) e pede para determinar vetores v_{1} e v_{2} tais que:
(1) v_{1} é paralelo a u (escrevo isso como v_{1}\parallel u);
(2) v_{2} é perpendicular a u (ou seja, u\cdot v_{2}=0);
(3) v=v_{1}+v_{2}.
Informações relevantes dadas:
\;u=(1,4,-2),
\;v=(2,5,-1),
queremos v_{1} paralelo a u e v_{2} perpendicular a u com v=v_{1}+v_{2}.

Passo 2

Ideia para resolver (sem ainda calcular): como v_{1} é paralelo a u, podemos escrever v_{1} como múltiplo escalar de u. Ou seja, existe um número real \alpha tal que
v_{1}=\alpha\,u.
Como v=v_{1}+v_{2}, temos v_{2}=v-v_{1}=v-\alpha u. A condição de perpendicularidade u\cdot v_{2}=0 vai nos permitir encontrar \alpha. Agora vamos explicar e aplicar o produto escalar para achar \alpha.

Passo 3

Lembrete (explicação didática): o produto escalar entre dois vetores (a_{1},a_{2},a_{3}) e (b_{1},b_{2},b_{3}) é
(a_{1},a_{2},a_{3})\cdot(b_{1},b_{2},b_{3})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Propriedade útil: se um vetor é múltiplo de outro, (\beta u)\cdot u=\beta (u\cdot u). Usando v_{2}=v-\alpha u e a condição u\cdot v_{2}=0, temos:
u\cdot(v-\alpha u)=0 \quad\Rightarrow\quad u\cdot v-\alpha\,u\cdot u=0.
Daí isolamos \alpha:
\alpha=\frac{u\cdot v}{u\cdot u}.
Esta \alpha é exatamente o coeficiente que dá a projeção de v sobre u. Agora vamos calcular os produtos escalares concretos.

Passo 4

Calculemos u\cdot v e u\cdot u pelo método do produto escalar (cada termo multiplicado e somado):
u\cdot v = (1)\cdot(2) + (4)\cdot(5) + (-2)\cdot(-1).
Fazendo as multiplicações:
u\cdot v = 2 + 20 + 2 = 24.
Agora
u\cdot u = (1)^{2} + (4)^{2} + (-2)^{2} = 1 + 16 + 4 = 21.

Passo 5

Com esses valores, calculamos \alpha:
\alpha=\frac{u\cdot v}{u\cdot u}=\frac{24}{21}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 3):
\alpha=\frac{8}{7}.

Passo 6

Agora obtemos v_{1}=\alpha u. Multiplicamos cada componente de u por \alpha=\dfrac{8}{7}:
v_{1}=\frac{8}{7}\,(1,4,-2)=\left(\frac{8}{7},\frac{32}{7},-\frac{16}{7}\right).
Mostrei passo a passo: 1\cdot\frac{8}{7}=\frac{8}{7}, 4\cdot\frac{8}{7}=\frac{32}{7}, -2\cdot\frac{8}{7}=-\frac{16}{7}.

Passo 7

Calculamos v_{2}=v-v_{1}. Subtraímos componente a componente (passando v para frações com denominador 7 facilita):
v=(2,5,-1)=\left(\frac{14}{7},\frac{35}{7},-\frac{7}{7}\right).
Então
v_{2}=v-v_{1}=\left(\frac{14}{7}-\frac{8}{7},\;\frac{35}{7}-\frac{32}{7},\;-\frac{7}{7}-\left(-\frac{16}{7}\right)\right).
Fazendo as subtrações:
v_{2}=\left(\frac{6}{7},\frac{3}{7},\frac{9}{7}\right).

Passo 8

Verificações rápidas (para eu e você ficarmos tranquilos):
  1. Soma v_{1}+v_{2}:
\left(\frac{8}{7}+\frac{6}{7},\;\frac{32}{7}+\frac{3}{7},\;-\frac{16}{7}+\frac{9}{7}\right)=\left(\frac{14}{7},\frac{35}{7},-\frac{7}{7}\right)=(2,5,-1)=v,
ou seja, v=v_{1}+v_{2} está correta.
2) Ortogonalidade u\cdot v_{2}:
u\cdot v_{2}=1\cdot\frac{6}{7}+4\cdot\frac{3}{7}+(-2)\cdot\frac{9}{7}=\frac{6+12-18}{7}=\frac{0}{7}=0,
portanto v_{2} é perpendicular a u.
Tudo confere.

Resposta

v_{1}=\left(\dfrac{8}{7},\dfrac{32}{7},-\dfrac{16}{7}\right)
v_{2}=\left(\dfrac{6}{7},\dfrac{3}{7},\dfrac{9}{7}\right)

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