Questão: Sejam
e
. Determine os vetores
e
que cumprem as seguintes condições:
(1)
;
(2)
;
(3)
.
(1)
(2)
(3)
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede que escrevamos
como soma de um vetor paralelo a
e outro ortogonal a
, isto é, encontrar
e
tais que:
e
Aqui estão explicitadas as condições que precisamos satisfazer; agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Ideia prática (sem jargão): se
é paralelo a
, então existe um escalar
tal que
Como
, temos
. A condição
significa que o produto escalar entre
e
é zero:
Substituindo
nessa relação, obtemos uma equação para
. Vamos aprender a usar o produto escalar e resolver para
.
Passo 3
Definição e propriedades que vamos usar (explicação didática):
- Produto escalar entre dois vetores
e é
- Produto escalar é linear:
. - A condição de ortogonalidade
dá então
Dessa equação isolamos
:
Isso é exatamente a fórmula da projeção de
sobre
:
. Agora calculamos os produtos escalares.
Passo 4
Calculando os produtos escalares com os números dados:
Portanto
Passo 5
Agora encontramos
como múltiplo de
:
Multiplicando componente a componente:
Podemos simplificar a primeira componente
, ficando
(Manter
também é uma forma compacta e correta.)
Passo 6
Calculamos
. Subtraindo componente a componente:
Colocando denominador comum
:
Portanto
Passo 7
Verificações rápidas (para você se sentir seguro na prova):
- Ortogonalidade: calcule
logo
, como pedido.
- Soma:
devolve (se somar as componentes anteriores dá exatamente ), então a decomposição está correta.