5^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Sejam u=(2,3,5) e v=(3,-1,4). Determine os vetores v_{1} e v_{2} que cumprem as seguintes condições:
(1) v_{1} \| u;
(2) v_{2} \perp u;
(3) v=v_{1}+v_{2}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u e v e pede que escrevamos v como soma de um vetor paralelo a u e outro ortogonal a u, isto é, encontrar v_{1} e v_{2} tais que:
u=(2,3,5), \qquad v=(3,-1,4),
e
(1)\; v_{1}\parallel u,\qquad (2)\; v_{2}\perp u,\qquad (3)\; v=v_{1}+v_{2}.
Aqui estão explicitadas as condições que precisamos satisfazer; agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Ideia prática (sem jargão): se v_{1} é paralelo a u, então existe um escalar \alpha tal que
v_{1}=\alpha\,u.
Como v=v_{1}+v_{2}, temos v_{2}=v-v_{1}=v-\alpha u. A condição v_{2}\perp u significa que o produto escalar entre v_{2} e u é zero:
v_{2}\cdot u=0.
Substituindo v_{2}=v-\alpha u nessa relação, obtemos uma equação para \alpha. Vamos aprender a usar o produto escalar e resolver para \alpha.

Passo 3

Definição e propriedades que vamos usar (explicação didática):
  • Produto escalar entre dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é
a\cdot b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Produto escalar é linear: (v-\alpha u)\cdot u = v\cdot u - \alpha (u\cdot u).
  • A condição de ortogonalidade v_{2}\cdot u=0 dá então
(v-\alpha u)\cdot u = 0 \quad\Longrightarrow\quad v\cdot u - \alpha (u\cdot u)=0.
Dessa equação isolamos \alpha:
\alpha = \frac{v\cdot u}{u\cdot u}.
Isso é exatamente a fórmula da projeção de v sobre u: v_{1}=\text{proj}_u(v)=\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u. Agora calculamos os produtos escalares.

Passo 4

Calculando os produtos escalares com os números dados:
u\cdot u = 2^{2}+3^{2}+5^{2}=4+9+25=38,
v\cdot u = 3\cdot 2 + (-1)\cdot 3 + 4\cdot 5 = 6-3+20=23.
Portanto
\alpha = \frac{v\cdot u}{u\cdot u}=\frac{23}{38}.

Passo 5

Agora encontramos v_{1} como múltiplo de u:
v_{1}=\alpha u=\frac{23}{38}\,(2,3,5).
Multiplicando componente a componente:
v_{1}=\left(\frac{23}{38}\cdot 2,\; \frac{23}{38}\cdot 3,\; \frac{23}{38}\cdot 5\right) =\left(\frac{46}{38},\; \frac{69}{38},\; \frac{115}{38}\right).
Podemos simplificar a primeira componente \frac{46}{38}=\frac{23}{19}, ficando
v_{1}=\left(\frac{23}{19},\; \frac{69}{38},\; \frac{115}{38}\right).
(Manter \dfrac{23}{38}u também é uma forma compacta e correta.)

Passo 6

Calculamos v_{2}=v-v_{1}. Subtraindo componente a componente:
v_{2}=\left(3-\frac{46}{38},\; -1-\frac{69}{38},\; 4-\frac{115}{38}\right).
Colocando denominador comum 38:
3-\frac{46}{38}=\frac{114-46}{38}=\frac{68}{38}=\frac{34}{19},
-1-\frac{69}{38}=\frac{-38-69}{38}=\frac{-107}{38},
4-\frac{115}{38}=\frac{152-115}{38}=\frac{37}{38}.
Portanto
v_{2}=\left(\frac{34}{19},\; -\frac{107}{38},\; \frac{37}{38}\right).

Passo 7

Verificações rápidas (para você se sentir seguro na prova):
  • Ortogonalidade: calcule u\cdot v_{2}
u\cdot v_{2}=2\cdot\frac{34}{19}+3\cdot\left(-\frac{107}{38}\right)+5\cdot\frac{37}{38} =\frac{136-321+185}{38}=0,
logo v_{2}\perp u, como pedido.
  • Soma: v_{1}+v_{2}= devolve (3,-1,4) (se somar as componentes anteriores dá exatamente v), então a decomposição está correta.

Resposta

v_{1}=\dfrac{23}{38}\,(2,3,5)=\left(\dfrac{23}{19},\;\dfrac{69}{38},\;\dfrac{115}{38}\right)
v_{2}=\left(\dfrac{34}{19},\;-\dfrac{107}{38},\;\dfrac{37}{38}\right)

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