3ª Questão: (3 pontos) Em cada item decida se a matriz A é inversível. Se A é inversível, determine sua inversa, A^{-1}, caso contrário, encontre uma matriz na forma escalonada reduzida linha equivalente à matriz A.
(1,5 pontos) A=\left(\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 & 0 \\\\ -1 & 2 & 0 & 0\end{array}\right) \quad

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 1 & 0\\\\ -1& 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^{-1}. Para isso vamos montar a matriz aumentada [\;A\mid I_4\;] e aplicar o método de Gauss–Jordan até obter [\;I_4\mid A^{-1}\;].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e trocamos R_1 com R_2 para ter pivô não nulo em (1,1). Em seguida eliminamos as entradas abaixo desse pivô na coluna 1:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ -1& 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \;\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}\; \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ -1& 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
\xrightarrow{\substack{R_3\gets R_3-2R_1\R_4\gets R_4+R_1}} \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -1& -1& -2& 0 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 3

Usamos o pivô em (2,2)=1 para eliminar as outras entradas da coluna 2:
\xrightarrow{\substack{R_1\gets R_1-R_2\R_3\gets R_3+R_2\R_4\gets R_4-3R_2}} \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1& 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -2& -2& -3 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 4

Para a coluna 3, trocamos R_3 com R_4, normalizamos o pivô em (3,3)=-2 e eliminamos acima e abaixo:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -2& -2& -3 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & -1& 1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right) \;\xrightarrow{R_3\gets -\tfrac12R_3}\; \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & \tfrac32& -\tfrac12& 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & -1& 1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)
\xrightarrow{R_2\gets R_2-R_3}\; \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\tfrac12& \tfrac12 & 0 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & \tfrac32& -\tfrac12& 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & -1& 1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)

Passo 5

Finalmente, normalizamos o pivô em (4,4)=-1 e eliminamos na coluna 4:
\xrightarrow{R_4\gets -R_4}\; \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\tfrac12& \tfrac12 & 0 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & \tfrac32& -\tfrac12& 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & -1& 0 \end{array}\right)
\xrightarrow{R_3\gets R_3-R_4} \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\tfrac12& \tfrac12 & 0 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac52& -\tfrac52& 1 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & -1& 0 \end{array}\right)

Passo 6

Chegamos à forma [\;I_4\mid A^{-1}\;]. Assim A é de fato invertível e a parte à direita é sua inversa.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac12 & \tfrac12 & 0 & \tfrac12\\\ \tfrac52 & -\tfrac52 & 1 & -\tfrac12\\\\ -1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

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