1^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Seja dada a curva da intersecção do paraboloide x^{2}+y^{2}=z com o plano 2 x+2 y-z=1.
(a) Encontre uma parametrização e um vetor tangente à curva.
(b) Ache o trabalho realizado pelo campo \vec{F}=(x, y, 2 x-z).

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies cuja interseção é a curva C:
\text{paraboloide: } \; z = x^{2}+y^{2},
\text{plano: } \; 2x+2y-z=1.
Perguntas: (a) encontre uma parametrização da curva C e um vetor tangente a C; (b) calcule o trabalho realizado pelo campo \vec{F}=(x,y,2x-z) ao longo de C.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as duas equações acima definem a curva de interseção; a curva é fechada (espera-se um círculo), e o campo vetorial \vec{F} será usado no integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Encontremos a equação no plano xy da interseção. Substituímos z do paraboloide na equação do plano:
2x+2y-(x^{2}+y^{2})=1.
Reorganizando termos:
x^{2}-2x+y^{2}-2y+1=0.
Agora completamos quadrados em x e y:
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1.
Portanto, na projeção no plano xy a interseção é o círculo de centro (1,1) e raio 1.

Passo 3

Parametrizamos o círculo no plano xy usando o parâmetro t (ângulo padrão). A parametrização padrão do círculo de centro (1,1) e raio 1 é
x(t)=1+\cos t,\qquad y(t)=1+\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Explicação curta: a parametrização (\cos t,\sin t) gera o círculo unitário centrado em (0,0); somando (1,1) deslocamos o centro para (1,1).

Passo 4

Agora obtemos a coordenada z(t) usando qualquer uma das superfícies (devem dar o mesmo z sobre a curva). Usamos a forma do plano z=2x+2y-1 porque é linear e simples de calcular:
z(t)=2x(t)+2y(t)-1 = 2(1+\cos t)+2(1+\sin t)-1.
Calculando:
z(t)=4+2(\cos t+\sin t)-1 = 3+2(\cos t+\sin t).
Observação rápida: testar com z=x^{2}+y^{2} daria o mesmo resultado (pode-se conferir se quiser). Assim temos a parametrização completa da curva C:
\vec{r}(t)=\bigl(1+\cos t,\;1+\sin t,\;3+2(\cos t+\sin t)\bigr),\quad t\in[0,2\pi].

Passo 5

Encontramos o vetor tangente tomando a derivada componente a componente de \vec{r}(t). Relembrando: a derivada de \cos t é -\sin t e de \sin t é \cos t. Então
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;2(-\sin t+\cos t)\bigr).
Podemos também escrever a terceira componente como 2(\cos t-\sin t). Esse \vec{r}\,'(t) é um vetor tangente à curva no ponto \vec{r}(t) para cada t. Interpretação: as primeiras duas componentes (-\sin t,\cos t) são o vetor tangente ao círculo unitário; a terceira componente acompanha a variação de z ao mover-se pelo círculo.

Passo 6

Para calcular o trabalho usamos a definição do integral de linha para um campo vetorial: se \vec{r}(t) é a parametrização com t de a até b, o trabalho é
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui escolhemos a orientação dada por t aumentando de 0 a 2\pi. Vamos calcular \vec{F}(\vec{r}(t)) e o produto escalar com \vec{r}\,'(t).

Passo 7

Substituímos as componentes na expressão do campo \vec{F}=(x,y,2x-z).
Primeiro as duas primeiras componentes:
x(t)=1+\cos t,\qquad y(t)=1+\sin t.
A terceira componente do campo ao longo da curva é
2x(t)-z(t)=2(1+\cos t)-\bigl(3+2(\cos t+\sin t)\bigr).
Calculando passo a passo:
2x(t)-z(t)=2+2\cos t-3-2\cos t-2\sin t = -1-2\sin t.
Portanto
\vec{F}(\vec{r}(t))=\bigl(1+\cos t,\;1+\sin t,\;-1-2\sin t\bigr).

Passo 8

Agora fazemos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t). Escrevemos os termos e simplificamos cuidadosamente:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=(1+\cos t)(-\sin t)+(1+\sin t)\cos t+(-1-2\sin t)\cdot 2(\cos t-\sin t).
Calculamos os dois primeiros termos:
(1+\cos t)(-\sin t)+(1+\sin t)\cos t = -\sin t-\cos t\sin t+\cos t+\sin t\cos t = \cos t-\sin t.
Observe que os termos com \cos t\sin t se cancelam. Agora o terceiro termo:
(-1-2\sin t)\cdot 2(\cos t-\sin t)= -2(\cos t-\sin t)-4\sin t(\cos t-\sin t).
Expandindo e somando com \cos t-\sin t obtemos (passo a passo):
\begin{aligned} \vec{F}\cdot\vec{r}\,' &= (\cos t-\sin t) -2(\cos t-\sin t) -4\sin t(\cos t-\sin t)\\\ &= -\cos t+\sin t -4\sin t\cos t +4\sin^{2}t. \end{aligned}

Passo 9

Agora integramos de 0 a 2\pi:
W=\int_{0}^{2\pi}\bigl(-\cos t+\sin t -4\sin t\cos t +4\sin^{2}t\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo, explicando identidades usadas:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}-\cos t\,dt = 0 porque \cos tem média zero no período.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt = 0 pelo mesmo motivo.
  • Para \displaystyle \int_{0}^{2\pi}-4\sin t\cos t\,dt usamos \sin(2t)=2\sin t\cos t, então \sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin(2t). Assim essa integral é -4\cdot\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2t)\,dt=-2\int_{0}^{2\pi}\sin(2t)\,dt=0 (integral de seno sobre número inteiro de meios-períodos é zero).
  • Para \displaystyle \int_{0}^{2\pi}4\sin^{2}t\,dt usamos a identidade \sin^{2}t=\tfrac{1-\cos(2t)}{2}. Então
\int_{0}^{2\pi}4\sin^{2}t\,dt = 4\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1-\cos(2t)}{2}\,dt = 2\int_{0}^{2\pi}(1-\cos(2t))\,dt.
A parte com \cos(2t) integra para zero, e a parte com 1 2\cdot(2\pi)=4\pi. Logo essa integral vale 4\pi.
Somando todos os termos (0+0+0+4\pi) obtemos
W=4\pi.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{r}(t)=\bigl(1+\cos t,\;1+\sin t,\;3+2(\cos t+\sin t)\bigr),\; t\in[0,2\pi], \displaystyle \vec{r}\,'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;2(\cos t-\sin t)\bigr).
(b) \displaystyle W=4\pi.

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