3^{\text {a }} Questão: Seja dado o campo de forças em \mathbb{R}^{3},
\vec{F}=\left(y^{2}-\sin (x), 2 x y+z, y\right)
Calcule o trabalho que realiza este campo cobre a curva dada pela intercepção do semihiperboloide de uma folha z=\sqrt{1-4 x^{2}+y^{2}} e o plano z=y-\sqrt{3}. Caso o campo for conservativo, ache uma função potencial.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular o trabalho realizado pelo campo de forças sobre a curva C dada pela intersecção entre as superfícies
z=\sqrt{1-4x^{2}+y^{2}}
e
z=y-\sqrt{3},
e (2) caso o campo seja conservativo, encontrar uma função potencial. As informações relevantes que temos são:
\vec{F}=(P,Q,R)=\bigl(y^{2}-\sin(x),\;2xy+z,\;y\bigr),
e a curva C é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas equações acima.
Não começo a resolver ainda; só organizei o que se pede e os dados que temos.

Passo 2

Primeira ideia: verificar se o campo \vec{F} é conservativo. Para isso uso o rotor (curl) em \mathbb{R}^{3}:
\operatorname{curl}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Vou calcular cada parcial passo a passo (explicando o que faço): \partial R/\partial y é a derivada de R=y em relação a y, ou seja 1. \partial Q/\partial z é a derivada de Q=2xy+z em relação a z, ou seja 1. Portanto a primeira componente do rotor é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=1-1=0.
Segunda componente: \partial P/\partial z com P=y^{2}-\sin(x) é 0 (não depende de z), e \partial R/\partial x com R=y é 0. Logo
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-0=0.
Terceira componente: \partial Q/\partial x=\partial(2xy+z)/\partial x=2y e \partial P/\partial y=\partial(y^{2}-\sin x)/\partial y=2y. Então
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2y-2y=0.
Portanto
\operatorname{curl}\vec{F}=(0,0,0).
Explicação didática rápida: quando o rotor é o vetor zero em todo \mathbb{R}^{3} e as componentes são funções suaves, o campo é localmente gradiente. Como \mathbb{R}^{3} é simplesmente conexo, esse fato implica que \vec{F} é conservativo em todo \mathbb{R}^{3}. Conclusão: \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Agora vou encontrar explicitamente a função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Isso significa resolver o sistema
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=y^{2}-\sin x,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=2xy+z,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=y.
Método: integro a primeira equação em relação a x (tratando y,z como constantes):
\varphi(x,y,z)=\int (y^{2}-\sin x)\,dx = x y^{2}+\cos x + h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z (porque integrei em x).
Agora imposto que \partial\varphi/\partial y deve ser 2xy+z. Calculo \partial\varphi/\partial y usando a expressão que obtive:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=2xy+\frac{\partial h}{\partial y}.
Comparando com a condição \partial\varphi/\partial y=2xy+z obtemos
\frac{\partial h}{\partial y}=z.
Integro essa igualdade em relação a y (com z tratado como constante):
h(y,z)=yz + k(z),
onde k(z) é uma função que depende apenas de z.
Finalmente imposto \partial\varphi/\partial z=y. Com \varphi=x y^{2}+\cos x + y z + k(z) temos
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=y + k'(z).
Comparando com \partial\varphi/\partial z=y deduzimos k'(z)=0, ou seja k é constante. Podemos desprezar constantes aditivas da potencial.
Portanto uma função potencial (qualquer uma, até adição de constante) é
\boxed{\varphi(x,y,z)=x y^{2}+\cos x + y z.}

Passo 4

Agora volto ao trabalho pedido sobre a curva C=\{\,\text{intersecção das duas superfícies}\,\}çãí. Como \vec{F} é conservativo, a integral de linha do trabalho ao longo de uma curva C orientada de um ponto A até um ponto B é simplesmente
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Se C for um laço fechado (isto é, volta ao mesmo ponto: A=B), então a diferença \varphi(B)-\varphi(A)=0 e o trabalho sobre um laço fechado é 0.
Para ser explícito e não deixar dúvida: vou estudar rapidamente a curva de intersecção para ver se é um laço fechado ou não (isso importa para deduzir o valor numérico do trabalho sem pontos finais). Igualando as duas expressões de z temos
y-\sqrt{3}=\sqrt{1-4x^{2}+y^{2}}.
Como o lado direito é não negativo, é necessário que y-\sqrt{3}\ge 0, isto é y\ge\sqrt{3}. Elevando ao quadrado (com cuidado, mas mantendo a condição y\ge\sqrt{3}) obtemos
(y-\sqrt{3})^{2}=1-4x^{2}+y^{2}.
Expandindo e simplificando aparece
4x^{2}-2\sqrt{3}\,y+2=0.
Dessa igualdade isolamos y em função de x:
y=\frac{2x^{2}+1}{\sqrt{3}}.
Substituindo de volta para z (usando z=y-\sqrt{3}) obtemos
z=\frac{2x^{2}-2}{\sqrt{3}}=\frac{2(x^{2}-1)}{\sqrt{3}}.
Observe que, pela condição y\ge\sqrt{3}, temos x^{2}\ge 1. Logo a intersecção é descrita por um arco que se estende para |x|\ge 1; isto é, a curva é formada por duas “ramas” (uma para x\ge1 e outra para x\le-1) que se estendem em x e não forma, portanto, um laço fechado compacto: é uma curva não fechada e não limitada (estende-se para infinito em x). (Se quiser checar: substituir a expressão de y em 1-4x^{2}+y^{2} 4(x^{2}-1)^{2}/3, cujo raiz positiva coincide com y-\sqrt{3} exatamente quando x^{2}\ge1, mostrando consistência.)
Conclusão prática: a curva de intersecção fornecida não é um laço fechado; é uma curva com duas ramificações não limitadas. Portanto o trabalho sobre toda a curva sem especificar pontos finais não é um número único determinado — para cada escolha de pontos iniciais A e finais B sobre essa curva o trabalho é \varphi(B)-\varphi(A). Em particular, sem os pontos iniciais e finais não se pode dar um único valor numérico do trabalho. Apenas posso afirmar que, se por acaso a intersecção fosse um laço fechado, o trabalho seria 0.

Passo 5

Resumo operacional e como aplicar isso numa prova (dica prática, mastigada):
  • Primeiro, calcule o rotor; se for zero e o dominio for simplesmente conexo (como \mathbb{R}^{3}), então o campo é conservativo.
  • Depois, ache a potencial integrando uma componente e corrigindo com funções “constantes” das outras variáveis (como fiz no Passo 3).
  • Finalmente, para avaliar o trabalho entre dois pontos na curva basta aplicar \varphi(B)-\varphi(A). Se a curva for fechada (mesmo ponto inicial e final) o trabalho será 0.
Pronto — coragem, você consegue reproduzir isso na prova: mostre o rotor zero, escreva a potencial, e diga porque o trabalho num laço fechado é zero (ou calcule a diferença de potenciais se tiver pontos finais).

Resposta

O trabalho entre dois pontos A e B da curva C é \varphi(B)-\varphi(A); sem pontos finais dados não há um número único. Se a curva fosse um laço fechado, o trabalho seria 0.
Função potencial: \displaystyle \varphi(x,y,z)=x y^{2}+\cos x + y z.

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