Questão: Seja dado o campo de forças em
,
Calcule o trabalho que realiza este campo cobre a curva dada pela intercepção do semihiperboloide de uma folha
e o plano
. Caso o campo for conservativo, ache uma função potencial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular o trabalho realizado pelo campo de forças sobre a curva
dada pela intersecção entre as superfícies
e
e (2) caso o campo seja conservativo, encontrar uma função potencial. As informações relevantes que temos são:
e a curva
é o conjunto de pontos
que satisfazem simultaneamente as duas equações acima.
Não começo a resolver ainda; só organizei o que se pede e os dados que temos.
Passo 2
Primeira ideia: verificar se o campo
é conservativo. Para isso uso o rotor (curl) em
:
Vou calcular cada parcial passo a passo (explicando o que faço):
é a derivada de
em relação a
, ou seja
.
é a derivada de
em relação a
, ou seja
. Portanto a primeira componente do rotor é
Segunda componente:
com
é
(não depende de
), e
com
é
. Logo
Terceira componente:
e
. Então
Portanto
Explicação didática rápida: quando o rotor é o vetor zero em todo
e as componentes são funções suaves, o campo é localmente gradiente. Como
é simplesmente conexo, esse fato implica que
é conservativo em todo
. Conclusão:
é conservativo.
Passo 3
Agora vou encontrar explicitamente a função potencial
tal que
. Isso significa resolver o sistema
Método: integro a primeira equação em relação a
(tratando
como constantes):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
(porque integrei em
).
Agora imposto que
deve ser
. Calculo
usando a expressão que obtive:
Comparando com a condição
obtemos
Integro essa igualdade em relação a
(com
tratado como constante):
onde
é uma função que depende apenas de
.
Finalmente imposto
. Com
temos
Comparando com
deduzimos
, ou seja
é constante. Podemos desprezar constantes aditivas da potencial.
Portanto uma função potencial (qualquer uma, até adição de constante) é
Passo 4
Agora volto ao trabalho pedido sobre a curva
. Como
é conservativo, a integral de linha do trabalho ao longo de uma curva
orientada de um ponto
até um ponto
é simplesmente
Se
for um laço fechado (isto é, volta ao mesmo ponto:
), então a diferença
e o trabalho sobre um laço fechado é
.
Para ser explícito e não deixar dúvida: vou estudar rapidamente a curva de intersecção para ver se é um laço fechado ou não (isso importa para deduzir o valor numérico do trabalho sem pontos finais). Igualando as duas expressões de
temos
Como o lado direito é não negativo, é necessário que
, isto é
. Elevando ao quadrado (com cuidado, mas mantendo a condição
) obtemos
Expandindo e simplificando aparece
Dessa igualdade isolamos
em função de
:
Substituindo de volta para
(usando
) obtemos
Observe que, pela condição
, temos
. Logo a intersecção é descrita por um arco que se estende para
; isto é, a curva é formada por duas “ramas” (uma para
e outra para
) que se estendem em
e não forma, portanto, um laço fechado compacto: é uma curva não fechada e não limitada (estende-se para infinito em
). (Se quiser checar: substituir a expressão de
em
dá
, cujo raiz positiva coincide com
exatamente quando
, mostrando consistência.)
Conclusão prática: a curva de intersecção fornecida não é um laço fechado; é uma curva com duas ramificações não limitadas. Portanto o trabalho sobre toda a curva sem especificar pontos finais não é um número único determinado — para cada escolha de pontos iniciais
e finais
sobre essa curva o trabalho é
. Em particular, sem os pontos iniciais e finais não se pode dar um único valor numérico do trabalho. Apenas posso afirmar que, se por acaso a intersecção fosse um laço fechado, o trabalho seria
.
Passo 5
Resumo operacional e como aplicar isso numa prova (dica prática, mastigada):
- Primeiro, calcule o rotor; se for zero e o dominio for simplesmente conexo (como
), então o campo é conservativo. - Depois, ache a potencial integrando uma componente e corrigindo com funções “constantes” das outras variáveis (como fiz no Passo 3).
- Finalmente, para avaliar o trabalho entre dois pontos na curva basta aplicar
. Se a curva for fechada (mesmo ponto inicial e final) o trabalho será .
Pronto — coragem, você consegue reproduzir isso na prova: mostre o rotor zero, escreva a potencial, e diga porque o trabalho num laço fechado é zero (ou calcule a diferença de potenciais se tiver pontos finais).
Resposta
O trabalho entre dois pontos
e
da curva
é
; sem pontos finais dados não há um número único. Se a curva fosse um laço fechado, o trabalho seria
.
Função potencial: .
Função potencial: