Calcule \int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \vec{\alpha}, onde \vec{F}(x, y, z)=(x y, y z, z x) e \alpha é o bordo de um triângulo com vértices ( 1,0 (0,1,0) e ( 0,0,1 ), orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
  • A função vetorial é \vec{F}(x,y,z) = (x y,\; y z,\; z x).
  • A curva \alpha é o bordo (contorno) do triângulo cujos vértices são (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
  • A orientação da curva \alpha é anti-horária quando vista “de cima” (ou seja, vista a partir do eixo positivo z).
  • O que se pede: calcular a integral de linha fechada \displaystyle \int_{\alpha} \vec{F}\cdot d\vec{\alpha}.

Passo 2

Escolhendo um método (e por quê). Aqui vamos usar o Teorema de Stokes porque:
  • A integral pedida é uma integral de linha ao longo de uma curva fechada \alpha.
  • Stokes nos permite transformar essa integral de linha numa integral de superfície do rotacional (curl) sobre qualquer superfície S cuja borda seja \alpha. Essa mudança normalmente simplifica muito quando o rotacional tem expressão simples na superfície escolhida.
Enunciado do Teorema de Stokes (forma que usaremos):
\int_{\partial S} \vec{F}\cdot d\vec{\alpha} = \iint_{S} (\nabla\times \vec{F})\cdot \vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é o vetor normal unitário à superfície S orientado de modo consistente com a orientação de \partial S (regra da mão direita).
Explicando de forma prática:
  • A integral à esquerda é exatamente a que queremos.
  • A integral à direita exige que calculemos \nabla\times\vec{F}, escolhamos uma superfície S cujo bordo seja o triângulo dado, calculemos a componente do rotacional naquela normal e integremos sobre S.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F} passo a passo.
A definição em coordenadas cartesianas é
\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\[4pt] x y & y z & z x \end{vmatrix}.
Computando componente a componente:
  • Componente x:
(\nabla\times\vec{F})_x = \frac{\partial}{\partial y}(z x) - \frac{\partial}{\partial z}(y z) = 0 - y = -y.
  • Componente y:
(\nabla\times\vec{F})_y = \frac{\partial}{\partial z}(x y) - \frac{\partial}{\partial x}(z x) = 0 - z = -z.
  • Componente z:
(\nabla\times\vec{F})_z = \frac{\partial}{\partial x}(y z) - \frac{\partial}{\partial y}(x y) = 0 - x = -x.
Portanto
\nabla\times\vec{F} = (-y,\; -z,\; -x) = - (y,\; z,\; x).]

Passo 4

Escolher a superfície S e o vetor normal \vec{n} unitário.
  • Uma escolha natural para S é o próprio triângulo plano cujo contorno é \alpha. Esse triângulo está no plano
x+y+z = 1,
pois seus três vértices satisfazem essa equação.
  • O vetor normal (não unitário) a esse plano é (1,1,1). Para usar Stokes precisamos do vetor normal unitário:
\vec{n} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.
  • Agora, atenção à orientação: a curva \alpha é orientada anti-horariamente quando vista de cima (do eixo positivo z). Pela regra da mão direita, isso corresponde a escolher \vec{n} apontando na direção do observador (ou seja, com componente z positiva). O vetor \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} tem componente z positiva, então ele está consistente com a orientação dada. Logo usamos esse \vec{n}.

Passo 5

Calcular (\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n} na superfície.
Temos \nabla\times\vec{F} = (-y,-z,-x) e \vec{n} = \dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}. Então
(\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(-y - z - x\bigr) = -\frac{x+y+z}{\sqrt{3}}.
Mas sobre a superfície S vale \;x+y+z=1. Portanto o produto escalar é constante sobre S:
(\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
Isso simplifica muito a integral de superfície: será apenas essa constante vezes a área de S.

Passo 6

Calcular a área do triângulo S.
Podemos obter a área usando vetores entre vértices. Tome os vetores a partir de (1,0,0):
\vec{v}_1 = (0,1,0) - (1,0,0) = (-1,1,0), \qquad \vec{v}_2 = (0,0,1) - (1,0,0) = (-1,0,1).
A área do triângulo é \dfrac{1}{2} do módulo do produto vetorial \vec{v}_1\times\vec{v}_2.
Calcule o produto vetorial:
\vec{v}_1\times\vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[4pt] -1 & 1 & 0 \\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1,1,1).
O módulo é |(1,1,1)|=\sqrt{3}. Assim a área do triângulo é
\text{Area}(S) = \frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
(Para conferir: os lados do triângulo têm comprimento \sqrt{2} entre quaisquer pares de vértices, é um triângulo equilátero de lado \sqrt{2}, cuja área é \tfrac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^2=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.)]

Passo 7

Avaliar a integral de superfície e concluir.
Pelo Teorema de Stokes:
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{\alpha} = \iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Como (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} é constante, temos
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{\alpha} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\iint_{S} dS = -\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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