Calcule \int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \vec{\alpha}, onde \vec{F}(x, y, z)=(x y, y z, z x) e \alpha é o bordo de um triângulo com vértices ( 1,0 (0,1,0) e ( 0,0,1 ), orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
A função vetorial é \vec{F}(x,y,z) = (x y,\; y z,\; z x).
A curva \alpha é o bordo (contorno) do triângulo cujos vértices são (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
A orientação da curva \alpha é anti-horária quando vista “de cima” (ou seja, vista a partir do eixo positivo z).
O que se pede: calcular a integral de linha fechada \displaystyle \int_{\alpha} \vec{F}\cdot d\vec{\alpha}.
Passo 2
Escolhendo um método (e por quê). Aqui vamos usar o Teorema de Stokes porque:
A integral pedida é uma integral de linha ao longo de uma curva fechada \alpha.
Stokes nos permite transformar essa integral de linha numa integral de superfície do rotacional (curl) sobre qualquer superfície S cuja borda seja \alpha. Essa mudança normalmente simplifica muito quando o rotacional tem expressão simples na superfície escolhida.
Enunciado do Teorema de Stokes (forma que usaremos):
onde \vec{n} é o vetor normal unitário à superfície S orientado de modo consistente com a orientação de \partial S (regra da mão direita).
Explicando de forma prática:
A integral à esquerda é exatamente a que queremos.
A integral à direita exige que calculemos \nabla\times\vec{F}, escolhamos uma superfície S cujo bordo seja o triângulo dado, calculemos a componente do rotacional naquela normal e integremos sobre S.
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F} passo a passo.
A definição em coordenadas cartesianas é
\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\[4pt] x y & y z & z x \end{vmatrix}.
Agora, atenção à orientação: a curva \alpha é orientada anti-horariamente quando vista de cima (do eixo positivo z). Pela regra da mão direita, isso corresponde a escolher \vec{n} apontando na direção do observador (ou seja, com componente z positiva). O vetor \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} tem componente z positiva, então ele está consistente com a orientação dada. Logo usamos esse \vec{n}.
Passo 5
Calcular (\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n} na superfície.
Temos \nabla\times\vec{F} = (-y,-z,-x) e \vec{n} = \dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}. Então
(\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(-y - z - x\bigr) = -\frac{x+y+z}{\sqrt{3}}.
Mas sobre a superfície S vale \;x+y+z=1. Portanto o produto escalar é constante sobre S:
(Para conferir: os lados do triângulo têm comprimento \sqrt{2} entre quaisquer pares de vértices, é um triângulo equilátero de lado \sqrt{2}, cuja área é \tfrac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^2=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.)]