\underline{\mathbf{2}}^{\text {a }} Questão - A barra de aço A-36 AB tem seção transversal quadrada. Supondo que esteja acoplada por um pino nas extremidades, determinar a carga máxima admissível P_{\text {adm }} que pode ser aplicada à estrutura. Usar fator de segurança 2 em relação à flambagem. \mathrm{E}_{\mathrm{A}-36}=29 \times 10^{3} \mathrm{ksi}, \sigma_{y}=36 \mathrm{ksi}

Passo 1

O enunciado pede a carga máxima admissível P_{\text{adm}} que pode ser aplicada à estrutura, usando fator de segurança 2 em relação à flambagem. Informações fornecidas (retirei da figura/enunciado):
  • Comprimento da barra AB: 10 pés (peguei o valor da figura).
  • Seção transversal da barra AB: quadrada de lado 1{,}5 pol (peguei da figura).
  • Barra presa por pinos nas extremidades (logo condições de contorno: pino-pino).
  • A barra inclinada BC forma \,30^\circ com a barra horizontal (valor da figura).
  • Módulo de Young para aço A-36: \,E=29\times10^{3}\\ \text{ksi} (valor do enunciado).
  • Tensão de escoamento: \sigma_y=36\\ \text{ksi} (valor do enunciado).
    Pergunta principal: determinar P_{\text{adm}} considerando a flambagem (fator de segurança 2).
    (A resolução começa no próximo passo.)

Passo 2

Vamos obter as propriedades geométricas da seção quadrada e explicar as fórmulas usadas.
Área da seção:
A = a^2,
onde a é o lado da seção. Aqui a=1{,}5\\ \text{pol}, então
A = (1{,}5)^2 = 2{,}25\\ \text{in}^2.
Momento de inércia de uma seção quadrada em torno de um eixo que passa pelo centro e é paralelo a um dos lados:
I = \frac{a^4}{12}.
Explicação: para uma barra sujeita à flambagem devemos usar I em relação ao eixo que controla a curvatura do encurvamento; para seção quadrada I conforme fórmula acima. Calculando,
I = \frac{(1{,}5)^4}{12} = \frac{5{,}0625}{12} = 0{,}421875\\ \text{in}^4.
Raio de giração r:
r = \sqrt{\frac{I}{A}}.
Explicação: r mede a distribuição da área; entra no cálculo da esbeltez. Calculando,
r = \sqrt{\frac{0{,}421875}{2{,}25}} = \sqrt{0{,}1875}=0{,}4330\\ \text{in}.

Passo 3

Comprimento efetivo para flambagem e razão de esbeltez.
Comprimento real da barra L = 10\\ \text{pés} = 120\\ \text{in}é (conversão: 1\\ \text{pé}=12\\ \text{in}é) — peguei o comprimento da figura.
Condição de contorno pino-pino implica fator de comprimento efetivo
K=1,
portanto comprimento efetivo
L_e = K L = 1\cdot 120 = 120\\ \text{in}.
Esbeltez (razão):
\lambda = \frac{L_e}{r} = \frac{120}{0{,}4330}\approx 277{,}2.
Comentário didático: valores grandes de \lambda significam membro muito esbelto, propenso à flambagem; devemos usar a fórmula de Euler para carga crítica de flambagem.

Passo 4

Fórmula de Euler para carga crítica de flambagem (pino-pino):
P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2}.
Explicação: é a carga axial de primeira flambagem para uma barra ideal linear-elástica com contornos pino-pino.
Substituindo os valores (unidades: E em \text{ksi}, I em \text{in}^4, L_e em \text{in} resulta P em kips):
E I = (29\times10^{3})(0{,}421875)=12\,234{,}375\\ \text{(ksi·in}^4).
P_{cr}=\frac{\pi^2\cdot 12\,234{,}375}{(120)^2}\\ \text{kips}\approx 8{,}38\\ \text{kips}.
Interpretação: sem fator de segurança, a barra AB vence por flambagem quando a força axial nela chega a aproximadamente 8{,}38\\ \text{kips}.

Passo 5

Aplicando o fator de segurança relativo à flambagem pedido pelo enunciado.
O enunciado pede fator de segurança =2 em relação à flambagem. Assim a força axial máxima admissível na barra AB (devido à flambagem) é
P_{\text{allow,AB}} = \frac{P_{cr}}{2} \approx \frac{8{,}38\\ \text{kips}}{2} = 4{,}19\\ \text{kips}.
Explicação: isso significa que a força axial real na barra AB não deve exceder 4{,}19\\ \text{kips} se quisermos margem 2 contra flambagem.

Passo 6

Equilíbrio no nó B para relacionar a carga externa P com a força axial em AB.
No nó B atuam: a força P vertical para baixo, a força axial em AB (horizontal) que chamaremos F_{AB} e a força axial em BC ao longo de 30^\circ que chamaremos F_{BC}. Para equilíbrio:
  • Soma das componentes verticais = 0:
F_{BC}\sin30^\circ - P = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{BC} = \frac{P}{\sin30^\circ} = \frac{P}{0{,}5}=2P.
  • Soma das componentes horizontais = 0 (tomando para a esquerda positivo):
F_{AB} - F_{BC}\cos30^\circ = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{AB} = F_{BC}\cos30^\circ.
Substituindo F_{BC}=2P e \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}:
F_{AB} = 2P\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\,P \approx 1{,}732\,P.
Interpretação: a força axial compressiva em AB é \sqrt{3} vezes a carga externa P.

Passo 7

Condição admissível: a força axial na barra AB não pode exceder P_{\text{allow,AB}}. Portanto
F_{AB} = \sqrt{3}\,P \le P_{\text{allow,AB}}.
Isolando P:
P_{\text{adm}} = \frac{P_{\text{allow,AB}}}{\sqrt{3}}.
Neste ponto temos todos os números para calcular P_{\text{adm}}: P_{\text{allow,AB}}\approx 4{,}19\\ \text{kips} (do Passo 5) e \sqrt{3}\approx 1{,}732.

Passo 8

Verificação de escoamento (para garantir que o domínio de ruptura não é por escoamento antes da flambagem).
Carga por escoamento da barra (capacidade à tração/compressão limite por escoamento):
P_y = A\cdot\sigma_y = 2{,}25\\ \text{in}^2 \cdot 36\\ \text{ksi} = 81\\ \text{kips}.
Comentário: P_y=81\\ \text{kips} é muito maior que P_{cr}\approx 8{,}38\\ \text{kips}, logo a barra perde por flambagem antes de escoar. Assim a verificação de flambagem foi a controle correto.

Resposta

\displaystyle P_{\text{adm}}=2{,}42\\ \text{kips}\approx 2{,}420\\ \text{lb}

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