\mathbf{1}^{\text {a }} Questão - A haste consiste em uma barra de aço com 1 pol de de diâmetro. Determinar a carga crítica de flambagem se as extremidades forem apoiadas por roletes. \mathrm{E}_{\text {AÇO }}=20 \times 10^{3} \mathrm{ksi}, \sigma_{y}=50 \mathrm{ksi}Ç

Passo 1

O enunciado pede para determinar a carga crítica de flambagem da haste. Dados fornecidos e o que é pedido:
  • Diâmetro da barra: d=1\\ \text{pol}.
  • Comprimento entre apoios: L=20\\ \text{pol}.
  • Extremidades apoiadas por roletes \Rightarrow condição de contorno biapoiada (pino-pino), fator de comprimento efetivo K=1.
  • Módulo de elasticidade: E=20\times10^{3}\\ \text{ksi}.
  • Tensão de escoamento: \sigma_{y}=50\\ \text{ksi}.

    Pergunta: calcular a carga crítica de flambagem P_{cr}.

Passo 2

Apresento a fórmula de Euler para flambagem elástica (válida quando a flambagem ocorre antes do escoamento):
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}
Expliquei cada termo:
  • P_{cr}: carga crítica (unidade: kips, se E estiver em \text{ksi} e todas as dimensões em \text{in}).
  • E: módulo de elasticidade (aqui \text{ksi}).
  • I: momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro que controla a flambagem (unidade: \text{in}^4).
  • K: fator de comprimento efetivo, depende das condições de contorno (para pino-pino, K=1).
  • L: comprimento entre apoios ( \text{in}).

    Observação prática: antes de usar Euler devemos checar se a flambagem elástica ocorre antes do escoamento. Uma verificação simples é calcular a tensão crítica \sigma_{cr}=P_{cr}/A e comparar com \sigma_{y}. Se \sigma_{cr}<\sigma_{y}, Euler é aplicável (flambagem ocorre antes do escoamento).

Passo 3

Calcular o momento de inércia I da seção circular maciça:
I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
Substituindo d=1\\ \text{pol}:
I=\frac{\pi (1)^{4}}{64}=\frac{\pi}{64}\\ \text{in}^{4}\approx 0{,}049087\\ \text{in}^{4}.
Também calculo a área da seção transversal (vai servir depois):
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (1)^{2}}{4}=\frac{\pi}{4}\\ \text{in}^{2}\approx 0{,}785398\\ \text{in}^{2}.

Passo 4

Substituir na fórmula de Euler com K=1 e L=20\\ \text{pol}:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(1\cdot L)^{2}}=\frac{\pi^{2}\cdot(20\times10^{3}\\ \text{ksi})\cdot\left(\dfrac{\pi}{64}\\ \text{in}^{4}\right)}{(20\\ \text{in})^{2}}.
Calculo passo a passo (mantendo unidades consistentes: \text{ksi}\cdot\text{in}^{4}/\text{in}^{2}=\text{ksi}\cdot\text{in}^{2} que, por convenção, fornece carga em kips):
  • Primeiro I=\dfrac{\pi}{64}\approx 0{,}049087\\ \text{in}^{4}.
  • Produto E I=20{,}000\\ \text{ksi}\times 0{,}049087\\ \text{in}^{4}=981{,}7477\\ \text{ksi}\cdot\text{in}^{4}.
  • Multiplicando por \pi^{2}: \pi^{2} E I\approx 9{,}8696\times981{,}7477\approx 9{,}686{,}24\\ \text{ksi}\cdot\text{in}^{4}.
  • Dividindo por L^{2}=400\\ \text{in}^{2}:
P_{cr}\approx \frac{9{,}686{,}24}{400}\\ \text{kips}\approx 24{,}22\\ \text{kips}.

Passo 5

Verificação da condição de escoamento (checar se Euler é válido):
\sigma_{cr}=\frac{P_{cr}}{A}=\frac{24{,}22\\ \text{kips}}{0{,}785398\\ \text{in}^{2}}\approx 30{,}85\\ \text{ksi}.
Como \sigma_{cr}=30{,}85\\ \text{ksi}<\sigma_{y}=50\\ \text{ksi}, a flambagem elástica (Euler) ocorre antes do escoamento — portanto a fórmula de Euler é válida aqui.
Adicional — cálculo do raio de giração e razão de esbeltez (útil para intuição):
r=\sqrt{\frac{I}{A}}=\sqrt{\frac{\pi/64}{\pi/4}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}=0{,}25\\ \text{in},
\frac{K L}{r}=\frac{1\cdot 20}{0{,}25}=80.
Razão de esbeltez igual a 80 é relativamente grande, consistente com comportamento de flambagem.

Passo 6

Conclusão final e incentivo: a carga crítica de flambagem calculada por Euler para esta haste (diâmetro 1\\ \text{pol}, L=20\\ \text{pol}, biapoiada) é aproximadamente 24{,}22\\ \text{kips}. Fica a dica: sempre cheque \sigma_{cr} versus \sigma_{y} para garantir que Euler é aplicável — fizemos isso e deu certo. Você está indo bem — esse tipo de verificação rápida é exatamente o que o professor gosta de ver na prova!

Resposta

P_{cr}=24{,}22\\ \text{kips}

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