1^{\underline{\mathrm{a}}} Questão: Resolva cada item abaixo:
(5 pts) Seja x \in \mathbb{R} tal que 0<|x-3|<1. Mostre que 5<|x+3|<7.

Passo 1

O enunciado diz que x é um real que satisfaz
0 < |x-3| < 1.
O objetivo é usar propriedades de valores absolutos e manipulação de desigualdades para chegar em
5 < |x+3| < 7.

Passo 2

Da definição de valor absoluto temos
|x-3|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 < x-3 < 1.
Como também sabemos que 0<|x-3|, concluímos que x\neq3, mas o mais importante é que
-1 < x-3 < 1 \quad\Longrightarrow\quad 2 < x < 4.

Passo 3

Para relacionar com x+3, somamos 6 em todas as partes da desigualdade -1 < x-3 < 1:
-1 + 6 < (x-3) + 6 < 1 + 6 \quad\Longleftrightarrow\quad 5 < x+3 < 7.

Passo 4

Como 5 < x+3, o número x+3 é positivo. Logo
|x+3| = x+3
e então de 5 < x+3 < 7 segue-se diretamente
5 < |x+3| < 7.

Resposta

5 < |x+3| < 7.

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