1^{\underline{\text { a }}} Questão:

Dada uma matriz A \in M_{2}(\mathbb{R}), dizemos que uma matriz B \in M_{n}(\mathbb{R}) comuta com A se A B=B A. Determine todas as matrizes que comutam A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}
e pede: determinar todas as matrizes B\in M_{2}(\mathbb{R}) tais que A B = B A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A é diagonal com entradas diagonais 1 e -2.
  • A incógnita é uma matriz B genérica 2\times2 com entradas reais.
  • A condição exigida é a igualdade de matrizes A B = B A, isto é, a comutação.]

Passo 2

Vamos representar uma matriz arbitrária B\in M_{2}(\mathbb{R}) pelas suas entradas desconhecidas. Seja
B=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
onde a,b,c,d\in\mathbb{R} são os valores que queremos achar. A estratégia é calcular A B e B A e igualá-las entrada a entrada.]

Passo 3

Calcular A B. Multiplicando as matrizes, usando a definição de produto de matrizes (linha vezes coluna), obtemos
A B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot a + 0\cdot c & 1\cdot b + 0\cdot d \\[4pt] 0\cdot a + (-2)\cdot c & 0\cdot b + (-2)\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\[4pt] -2c & -2d \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular B A. Novamente usando a definição de produto:
B A = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot 1 + b\cdot 0 & a\cdot 0 + b\cdot (-2) \\[4pt] c\cdot 1 + d\cdot 0 & c\cdot 0 + d\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -2b \\[4pt] c & -2d \end{pmatrix}.]

Passo 5

Impor A B = B A e igualar as entradas correspondentes. Igualando as matrizes encontradas:
\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] -2c & -2d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -2b \\[4pt] c & -2d \end{pmatrix}.
Isso gera um sistema de equações entrywise:
  • Para a posição (1,1): a = a (sempre verdade).
  • Para a posição (1,2): b = -2b. Isolando b 3b = 0, logo b=0.
  • Para a posição (2,1): -2c = c. Isolando c -3c = 0, logo c=0.
  • Para a posição (2,2): -2d = -2d (sempre verdade).
Portanto as únicas restrições são b=0 e c=0, enquanto a e d permanecem livres (quaisquer reais).]

Passo 6

Interpretação didática (por que ocorreu isso). A matriz A tem dois autovalores distintos, 1 e -2; os autoespaços associados são as retas geradas pelos vetores canônicos e_1 e e_2 (ou seja, os eixos coordenados). Qualquer transformação linear que comute com A deve enviar cada autoespaço de A em si mesmo (porque comutar preserva espaços próprios quando os autovalores são distintos). Em base canônica isso significa que a transformação tem que ser bloco-diagonal em blocos de dimensão 1, ou seja, diagonal. Em termos das entradas isso corresponde exatamente a b=c=0. Observação útil: se os autovalores fossem iguais (matriz escalar), então qualquer matriz comuta com A; aqui, por serem distintos, o centralizador de A é o conjunto das matrizes diagonais.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se escolher a=3 e d=-1 e b=c=0, então
B=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}
comuta com A; pode verificar multiplicando.
  • Se tentarmos B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} (com b=1), então não comuta, pois já vimos que b precisa ser zero.]

Resposta

As matrizes B\in M_{2}(\mathbb{R}) que comutam com A são exatamente as matrizes diagonais
B=\begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt] 0 & d\end{pmatrix},
com a,d\in\mathbb{R}.]

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