Um filhote de gato mal intencionado decide brincar com um arranjo decorativo recém projetado pelo seu dono na sala de estar. Para confeccioná-lo, o dono fixou três roldanas idênticas à parede e passou um fio inextensível pelo conjunto, prendendo dois ornamentos de borboleta de massa m às extremidades. Um terceiro ornamento, com uma borboleta de massa m’, está fixo à roldana central e é imóvel. Qual deve ser a massa do gato, sabendo que, ao se agarrar a uma das borboletas móveis e se pendurar, a outra sobe com metade da aceleração da gravidade?
a. m / 2
b. m
c. 2 m
d. essa situação é impossível, a menos que a massa do gato seja 0 .
e. 4 m
Sendo a polia central fixa, há um vínculo entre as acelerações das massas nas extremidades do fio, isto é a_L = - a_R se o referencial adota o sentido y positivo para movimentos ascendentes. Pode-se chegar a esta relação impondo que o comprimento L do fio é constante e I_L + I_R = L - cte, de modo que a_L = - a_R.
Sejam M em as massas do gato e da borboleta, respectivamente.
Na extremidade abocanhada pelo gato, as forças são \mathrm{T}-(\mathrm{M}+\mathrm{m}) \mathrm{g}=-(\mathrm{M}+\mathrm{m}) \mathrm{a}
(sinal negativo, pois o movimento é descendente)
Na outra extremidade, as forças são \mathrm{T}-\mathrm{mg}=\mathrm{m} \mathrm{a}
Subtraindo uma equação da outra, encontra-se \mathrm{Mg}=(\mathrm{M}+2 \mathrm{~m}) \mathrm{a}
como a = g/2, encontramos 2 \mathrm{M}=\mathrm{M}+2 \mathrm{~m}->\mathrm{M}=2 \mathrm{~m}.
A resposta correta é: 2 m \square
Passo 1
O enunciado descreve que o filhote de massa M agarra a borboleta de massa m na extremidade esquerda de um fio inextensível que passa por polias fixas, e como consequência a borboleta da extremidade direita (massa m) sobe com aceleração g/2. Vamos usar:
– Restrição geométrica do fio (acelerações opostas);
– Segunda lei de Newton em cada massa;
– Valor da aceleração a = g/2.
Passo 2
Definimos como positivo o sentido para cima em ambas as extremidades. Seja a a aceleração da borboleta direita a = g/2; na extremidade esquerda o conjunto filhote+borboleta de massa M+m tem aceleração -a. A tensão no fio é a mesma nos dois trechos, chamando-a de T.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton ao conjunto da esquerda (massa total M+m):
T - (M+m)g = (M+m)\,( -a ).
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton à borboleta direita (massa m):