2^{\underline{a}} Questão (25 pontos):
Calcule \iiint_{E} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V, onde E é o sólido entre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E}\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV
onde E é o sólido entre as esferas
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
O conteúdo aqui é integral tripla em coordenadas esféricas. Vamos usar a troca
\bigl(x,y,z\bigr)\mapsto\bigl(r,\theta,\varphi\bigr), sabendo que o jacobiano vale r^{2}\sin\theta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta,
com r\ge0, \theta\in[0,\pi] e \varphi\in[0,2\pi].
O domínio E corresponde a
1 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le \pi,\quad 0 \le \varphi \le 2\pi.

Passo 3

O integrando \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} vira \frac{1}{r^{2}}.
O elemento de volume dV vira r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Logo o produto integrand o\cdot jacobiano é
\frac{1}{r^{2}}\;r^{2}\sin\theta = \sin\theta.

Passo 4

A integral fica
\iiint_{E}\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}\sin\theta\;dr\,d\theta\,d\varphi.
Como não há acoplamento, separamos em três integrais:
\int_{1}^{2}dr = 2-1 = 1,\quad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2,\quad \int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi.
Multiplicando os resultados obtemos
1 \times 2 \times 2\pi = 4\pi.

Resposta

\displaystyle 4\pi

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