1^{\underline{a}} Questão ( 25 pontos):
Calcule \iiint_{E} 2 z^{2} d V, onde E é o sólido delimitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=-1 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{E}2z^{2}\,dV,
onde E é o região cilíndrica definida por x^{2}+y^{2}\le4 e -1\le z\le1. O conteúdo envolve integrais triplas em coordenadas cilíndricas, usando o elemento de volume dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
com 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi e -1\le z\le1. A integral vira
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1}2z^{2}\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em z:
\int_{-1}^{1}2z^{2}\,dz =2\int_{-1}^{1}z^{2}\,dz =2\cdot\frac{2}{3} =\frac{4}{3}.

Passo 4

Substituindo no integral em r e \theta:
\frac{4}{3}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r\,dr\,d\theta.
O integral em r
\int_{0}^{2}r\,dr =\frac{2^{2}}{2} =2,
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\frac{4}{3}\int_{0}^{2\pi}2\,d\theta =\frac{8}{3}\cdot2\pi =\frac{16\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16\pi}{3}

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