Calcule as integrais definidas:
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2 x\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{-1}^{2}\bigl(x^{3}-2x\bigr)\,dx.
O conteúdo é cálculo de integral de um polinômio, usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de potência.

Passo 2

Encontramos uma primitiva F(x) de x^{3}-2x integrando termo a termo:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}, \qquad \int (-2x)\,dx = -x^{2}.
Logo,
F(x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{2}.

Passo 3

Aplicamos agora o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando F em 2 e em -1:
F(2) = \frac{2^{4}}{4} - 2^{2} = \frac{16}{4} - 4 = 4 - 4 = 0,
F(-1) = \frac{(-1)^{4}}{4} - (-1)^{2} = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}.

Passo 4

A integral é
\int_{-1}^{2}\bigl(x^{3}-2x\bigr)\,dx = F(2) - F(-1) = 0 - \bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr) = \frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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