4^{\underline{a}} Questão: Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{\cos ^{2}\left(x^{10}\right)}{90-15 x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -\infty}\frac{\cos^{2}\bigl(x^{10}\bigr)}{90-15x^{3}}.
Este é um limite em que o numerador \cos^{2}(x^{10}) é uma função oscilante, porém limitada em [0,1], e o denominador tende ao infinito. Vamos usar o teorema do confronto para concluir.

Passo 2

Para x\to -\infty temos x^{3}\to -\infty. Então
90 - 15x^{3} \;=\; 90 - 15\bigl(x^{3}\bigr) \;\longrightarrow\; 90 - 15\cdot(-\infty) \;=\; +\infty.
Ou seja, o denominador cresce sem limite e permanece positivo para x suficientemente grande em módulo.

Passo 3

Como para todo x vale
0 \;\le\; \cos^{2}\bigl(x^{10}\bigr) \;\le\; 1,
temos
0 \;\le\; \frac{\cos^{2}\bigl(x^{10}\bigr)}{90-15x^{3}} \;\le\; \frac{1}{90-15x^{3}}.
Mas \frac{1}{90-15x^{3}}\to 0 quando x\to -\infty. Pelo teorema do confronto, a fração original também tende a zero.

Resposta

0

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