4^{\underline{a}} Questão: Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x \sin x}{2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan x\,\sin x}{2x^2}.
Esse é um limite de funções trigonométricas que resulta na forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a identidade \tan x=\tfrac{\sin x}{\cos x} e o limite fundamental \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 2

Ao substituir x=0 diretamente, obtemos \tfrac{0\cdot0}{0}= \tfrac{0}{0}, sem definição. Para contornar, escrevemos:
\frac{\tan x\,\sin x}{2x^2} = \frac{\sin x}{\cos x}\;\cdot\;\frac{\sin x}{2x^2} = \frac{\sin^2 x}{2\,x^2\,\cos x}.

Passo 3

Agora, separamos os fatores de modo a usar o limite \sin x/x:
\frac{\sin^2 x}{2\,x^2\,\cos x} = \frac{\sin^2 x}{x^2}\;\cdot\;\frac{1}{2\cos x} = \Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr)^2\;\cdot\;\frac{1}{2\cos x}.

Passo 4

Sabemos que
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\cos x=1.
Logo,
\lim_{x\to 0}\Bigl(\tfrac{\sin x}{x}\Bigr)^2\;\cdot\;\tfrac{1}{2\cos x} = \frac{1^2}{2\cdot1} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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