6^{\underline{a}} Questão: Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{4}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{4}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo aqui é limite de expressão que envolve potência com base variando e expoente indo a infinito. Vamos usar a estratégia de tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto, aplicar l’Hôpital ou expansão em série, e depois voltar pela exponenciação.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{4}{x}\Bigr)^{x}
e estudamos
\ln L = \lim_{x\to+\infty} x \,\ln\Bigl(1+\frac{4}{x}\Bigr).
Agora temos uma forma indeterminada do tipo +\infty\cdot0.

Passo 3

Para resolver a indeterminação, escrevemos
x\,\ln\Bigl(1+\tfrac{4}{x}\Bigr) = \frac{\ln\bigl(1+\tfrac{4}{x}\bigr)}{\tfrac{1}{x}}.
À medida que x\to+\infty, o numerador vai a \ln(1+0)=0 e o denominador a 0, dando 0/0. Podemos então usar l’Hôpital:
\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{4}{x}\bigr)\Bigr]} {\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl[\tfrac{1}{x}\bigr]} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\displaystyle \frac{1}{1+\tfrac{4}{x}}\cdot\bigl(-\tfrac{4}{x^2}\bigr)} {\displaystyle -\tfrac{1}{x^2}}.

Passo 4

Simplificando a expressão de l’Hôpital:
\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{-\tfrac{4}{x^2(1+4/x)}}{-\tfrac{1}{x^2}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{4}{1+\tfrac{4}{x}} = \frac{4}{1+0} = 4.
Logo \ln L = 4.

Passo 5

Voltando da função logaritmo pela exponenciação, temos
L = e^{\ln L} = e^{4}.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{4}{x}\Bigr)^{x} = e^{4}.

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