6^{\underline{a}} Questão: Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr)^{x}.
O conteúdo é limite de forma indeterminada do tipo 1^\infty; vamos usar logaritmo e a definição do número e.

Passo 2

Defina
L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr)^{x}.
Para encontrá-lo, tomamos logaritmo natural:
\ln L = \lim_{x\to+\infty} x \,\ln\!\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr).

Passo 3

Observe que
\ln\!\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr) = \ln(x+3) - \ln(x+2) = \ln\!\Bigl(1 + \frac{1}{x+2}\Bigr).
Assim o expoente fica
x \,\ln\!\Bigl(1 + \frac{1}{x+2}\Bigr) = (x+2)\,\ln\!\Bigl(1 + \frac{1}{x+2}\Bigr) - 2\,\ln\!\Bigl(1 + \frac{1}{x+2}\Bigr).
Pelo limite clássico
\lim_{u\to\infty}u\,\ln\!\Bigl(1+\frac1u\Bigr)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{u\to\infty}\ln\!\Bigl(1+\frac1u\Bigr)=0,
com u=x+2, vem
\ln L = 1 - 2\cdot 0 = 1.

Passo 4

Como \ln L=1, segue que
L = e^1 = e.

Resposta

e

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