6^{\underline{a}} Questão: Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr)^{x}.
O conteúdo aqui é limite de forma exponencial “ 1^\infty”, e vamos usar o logaritmo para transformar a potência em produto no expoente.

Passo 2

Reescrevemos a expressão usando a função exponencial e o logaritmo natural:
\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr)^{x} = \exp\Bigl(x\;\ln\bigl(\tfrac{x+3}{x+2}\bigr)\Bigr).

Passo 3

Analisamos o limite do expoente
x\;\ln\Bigl(\tfrac{x+3}{x+2}\Bigr) = x\;\ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x+2}\Bigr).
Como x\to+\infty, temos \tfrac{1}{x+2}\to0 e vale a aproximação
\ln(1+u)\approx u\quad\text{para }u\approx0.
Aqui u=\tfrac{1}{x+2}, portanto
x\;\ln\Bigl(1+\tfrac{1}{x+2}\Bigr)\sim x\cdot\tfrac{1}{x+2}=\frac{x}{x+2}\to1.

Passo 4

Como o expoente tende a 1, concluímos que
\exp\Bigl(x\;\ln\bigl(\tfrac{x+3}{x+2}\bigr)\Bigr)\;\longrightarrow\;\exp(1)=e.

Resposta

e

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