{ }^{\underline{a}} Questão: ( 1,0 ponto) Calcule a distância entre os planos paralelos:
\Pi_{1}: 2 x+2 y+2 z-5=0 \text { e } \Pi_{2}: x+y+z-3=0

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos paralelos
\Pi_{1}: 2x + 2y + 2z - 5 = 0
e
\Pi_{2}: x + y + z - 3 = 0.
O conteúdo é aplicar a fórmula da distância entre planos paralelos, que exige ter o mesmo vetor normal.

Passo 2

Identificamos os vetores normais: para \Pi_{1} temos \mathbf{n}_{1}=(2,2,2) e para \Pi_{2} temos \mathbf{n}_{2}=(1,1,1). Note que \mathbf{n}_{1}=2\,\mathbf{n}_{2}, logo as retas são realmente paralelas.

Passo 3

Para usar a mesma normal nos dois planos, multiplicamos a equação de \Pi_{2} por 2, obtendo
2x + 2y + 2z - 6 = 0.
Agora ambas as equações têm o normal \mathbf{n}=(2,2,2).

Passo 4

A fórmula da distância entre dois planos Ax+By+Cz+D_1=0 e Ax+By+Cz+D_2=0 é
\mathrm{dist} = \frac{\bigl|D_{2}-D_{1}\bigr|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.
Aqui D_{1}=-5 e D_{2}=-6, e \sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
\mathrm{dist} = \frac{\bigl|-6 -(-5)\bigr|}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}

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