4^{\underline{a}} Questão: (1,0 ponto)
Sobre a elipse \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1, encontre os pontos P da elipse em que P F_{1}-P F_{2}=6.4, onde F_{1} e F_{2} são os focos da elipse.
Passo 1
O problema dá a elipse
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1
cujo semi-eixo maior é a=5 e menor é b=3. Os focos F_{1} e F_{2} estão em (-c,0) e (c,0) com c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}. Queremos os pontos P=(x,y) nessa elipse tais que
P F_{1}-P F_{2}=6{,}4.
Para resolver vamos: (i) achar c e as coordenadas dos focos; (ii) escrever a equação \sqrt{(x+ c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x- c)^{2}+y^{2}}=6{,}4; (iii) manipular algebricamente esse radical, obter uma segunda curva e intersectar com a elipse.