4^{\underline{a}} Questão: (1,0 ponto)
Sobre a elipse \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1, encontre os pontos P da elipse em que P F_{1}-P F_{2}=6.4, onde F_{1} e F_{2} são os focos da elipse.

Passo 1

O problema dá a elipse
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1
cujo semi-eixo maior é a=5 e menor é b=3. Os focos F_{1} e F_{2} estão em (-c,0) e (c,0) com c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}. Queremos os pontos P=(x,y) nessa elipse tais que
P F_{1}-P F_{2}=6{,}4.
Para resolver vamos: (i) achar c e as coordenadas dos focos; (ii) escrever a equação
\sqrt{(x+ c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x- c)^{2}+y^{2}}=6{,}4; (iii) manipular algebricamente esse radical, obter uma segunda curva e intersectar com a elipse.

Passo 2

Calculamos
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4,
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F_{1}=(-4,0), \quad F_{2}=(4,0).

Passo 3

Denotemos
d_{1}=\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}}, \quad d_{2}=\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}},
e impomos
d_{1}-d_{2}=6{,}4.
Isolando d_{1}=d_{2}+6{,}4 e elevando ao quadrado:
(x+4)^{2}+y^{2} =(d_{2}+6{,}4)^{2} =d_{2}^{2}+2\cdot6{,}4\,d_{2}+6{,}4^{2}.
Como d_{2}^{2}=(x-4)^{2}+y^{2}, a diferença dá
(x+4)^{2}-(x-4)^{2} =2\cdot6{,}4\,d_{2}+6{,}4^{2},
isto é
16x=12{,}8\,d_{2}+40{,}96 \quad\Longrightarrow\quad d_{2}=\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}} =1{,}25\,x-3{,}2,
com a condição 1{,}25x-3{,}2\ge0\Rightarrow x\ge2{,}56.

Passo 4

Elevando de novo ao quadrado:
(x-4)^{2}+y^{2}=(1{,}25x-3{,}2)^{2} =1{,}5625\,x^{2}-8x+10{,}24.
Reorganizando:
x^{2}-8x+16+y^{2} =1{,}5625\,x^{2}-8x+10{,}24 \;\Longrightarrow\; 0{,}5625\,x^{2}-y^{2}-5{,}76=0.
Multiplicando por 16 obtemos a equação da hipérbole resultante:
9x^{2}-16y^{2}=92{,}16.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} 9x^{2}-16y^{2}=92{,}16,\\\\ 9x^{2}+25y^{2}=225 \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(9x^{2}+25y^{2})-(9x^{2}-16y^{2})=225-92{,}16 \quad\Longrightarrow\quad 41y^{2}=132{,}84 \;\Rightarrow\; y^{2}=3{,}24 \;\Rightarrow\; y=\pm1{,}8.
Em seguida 9x^{2}+25\cdot3{,}24=225 leva a 9x^{2}=144, logo x^{2}=16.

Passo 6

Da condição x\ge2{,}56 vem x=4. Assim os pontos procurados são
P=(4,\,1{,}8) \quad\text{e}\quad P=(4,\,-1{,}8).

Resposta

(4,\,1{,}8) e (4,\,-1{,}8)

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