3^{\underline{a}} Questão: ( 1,0 ponto) Determine o ângulo que a reta
\left\{\begin{array}{l} x=2-t \\\ y=1+2 t \\\ z=-3+5 t \end{array}\right.
forma com o plano de equação x-2 y+z+2=0.
R: 0 graus.

Passo 1

O enunciado dá a reta em forma paramétrica
\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t \\[6pt] y = 1 + 2t \\[6pt] z = -3 + 5t \end{array} \right.
e o plano de equação x - 2y + z + 2 = 0.
O conteúdo é cálculo do \hat{\text{a}}\ngulo entre reta e plano. Para isso, vamos usar o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano e a relação
\varphi = 90^\circ - \theta,
onde \theta é o ângulo entre o vetor diretor e o vetor normal.]

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano:
v = (-1,\,2,\,5), \qquad n = (1,\,-2,\,1).

Passo 3

Calculamos o ângulo \theta entre v e n por
\cos\theta = \frac{v\cdot n}{\|v\|\|n\|}.
O produto escalar é
v\cdot n = (-1)\cdot1 + 2\cdot(-2) + 5\cdot1 = -1 - 4 + 5 = 0,
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\cos\theta = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \theta = 90^\circ.

Passo 4

O ângulo entre reta e plano é
\varphi = 90^\circ - \theta = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ.

Resposta

0^\circ

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