5^{\underline{a}} Questão: (1,0 ponto)
USANDO A QUESTÃO 4, mostre que
\begin{aligned} & \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots \\\ & \frac{\pi}{\sqrt{8}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11} \ldots \end{aligned}
DICA: x=\frac{1}{2} e x=\frac{1}{4}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas séries infinitas iguais a \pi/4 e \pi/\sqrt{8}, usando o resultado da Questão 4. Na Questão 4 foi obtida a expansão em série de Taylor de
\arctan x \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|\le1.
Para a segunda série, também vamos usar a soma de séries geométricas
\frac{1}{1+t^4}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\,t^{4n}, \quad \frac{t^2}{1+t^4}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\,t^{4n+2},
e a integração termo a termo no intervalo [0,1].

Passo 2

Usando diretamente
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},
colocamos x=1. Como \arctan1=\pi/4, obtemos
\frac{\pi}{4} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1},
que é exatamente
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots.

Passo 3

Para a segunda série, note que
\frac{1+t^2}{1+t^4} =\frac{1}{1+t^4}+\frac{t^2}{1+t^4} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\bigl(t^{4n}+t^{4n+2}\bigr).
Integramos ambos os lados de t=0 a t=1:
\int_{0}^{1}\frac{1+t^2}{1+t^4}\,dt =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\int_0^1\bigl(t^{4n}+t^{4n+2}\bigr)dt =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\Bigl(\frac{1}{4n+1}+\frac{1}{4n+3}\Bigr).
O lado direito é exatamente
1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\cdots.

Passo 4

Falta então avaliar
I=\int_{0}^{1}\frac{1+t^2}{1+t^4}\,dt.
Esse integral é conhecido ou pode ser calculado por frações parciais em
\,1+t^4=(t^2+\sqrt2\,t+1)(t^2-\sqrt2\,t+1)\,,
mas o resultado padrão é
I=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.
Logo
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\Bigl(\frac{1}{4n+1}+\frac{1}{4n+3}\Bigr) =\frac{\pi}{2\sqrt{2}} =\frac{\pi}{\sqrt{8}}.

Resposta

\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots
\frac{\pi}{\sqrt{8}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\cdots

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