Qual é o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n+1}}{n}
Resposta: 2 \leq x<4

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n+1}}{n}.
O conteúdo envolvido é análise de séries de potências: vamos determinar o raio de convergência pelo teste da razão e depois testar separadamente os pontos finais.

Passo 2

Aplicando o teste da razão à a_n = \frac{(x-3)^{n+1}}{n}, calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(x-3)^{(n+1)+1}}{n+1}\,\frac{n}{(x-3)^{n+1}}\right| = |x-3|\;\frac{n}{n+1}.
Fazendo n\to\infty, obtém-se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x-3|.
Para convergir pelo teste da razão, precisamos de |x-3|<1.

Passo 3

A condição |x-3|<1 equivale a
-1 < x-3 < 1 \quad\Longrightarrow\quad 2 < x < 4.
Portanto, na parte aberta, o intervalo de convergência é (2,4).

Passo 4

Verificando x=4, temos (x-3)^{n+1} = 1^{n+1}=1 e a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge.

Passo 5

Verificando x=2, temos (x-3)^{n+1}=(-1)^{n+1} e a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n},
que é a série harmônica alternada. Pelo critério de Leibniz, ela converge (condicionalmente).

Resposta

2 \le x < 4

Exercícios relacionados