Utilize este fato para encontrar a soma de cada série.
\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
(b) \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}
sabendo que
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.

Passo 2

Fazemos a mudança de índice k=n+1. Quando n=3, k=4, e quando n\to\infty, k\to\infty. Logo
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}} =\sum_{k=4}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}.

Passo 3

A soma de k de 1 até infinito é \zeta(2). Portanto, a soma a partir de k=4 é
\sum_{k=4}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} -\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{k^{2}} =\zeta(2)-\bigl(1+\tfrac{1}{2^{2}}+\tfrac{1}{3^{2}}\bigr).

Passo 4

Calculamos o termo que deve ser subtraído:
1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}} =1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9} =\frac{36+9+4}{36} =\frac{49}{36}.
Então
\sum_{k=4}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} =\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{49}{36}.

Resposta

\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}} =\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{49}{36} =\frac{6\pi^{2}-49}{36}.

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