3^{\underline{a}}. Questão. (4,0 pontos) Calcule:
\int\left(2 x^{3}+5 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(2 x^{3}+5 x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é 2 x^{3}+5 x.
  • A integral é indefinida, portanto a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

O que é uma integral indefinida (explicação didática):\n
A integral indefinida de uma função f(x) é o conjunto de todas as funções F(x) cuja derivada é f(x). Escrevemos isso assim:
F'(x)=f(x)\quad\Longrightarrow\quad \int f(x)\,dx = F(x)+C,
onde C é uma constante arbitrária (a chamada constante de integração).\n
Na prova, quando vir \int f(x)\,dx, pense: “Qual função eu derivaria para obter f(x)?”

Passo 3

Propriedades que vamos usar (explicação simples):\n
  1. Linearidade da integral: para constantes a,b e funções u(x),v(x),
\int\big(a\,u(x)+b\,v(x)\big)\,dx = a\int u(x)\,dx + b\int v(x)\,dx.
Isto permite integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.\n
2) Regra do poder (power rule) para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Essa regra é o “inverso” da regra da derivada \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Por exemplo, se F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, então
F'(x)=\frac{n+1}{n+1}x^{n} = x^{n},
ou seja, funciona como antiderivada.

Passo 4

Aplicando linearidade: escrevemos
\int\left(2 x^{3}+5 x\right)\,dx = 2\int x^{3}\,dx + 5\int x\,dx.
Puxamos as constantes 2 e 5 para fora das integrais.

Passo 5

Integrando o primeiro termo usando a regra do poder:\n
Para \int x^{3}\,dx temos n=3, então
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}+C_1.
Multiplicando por 2:
2\int x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{2x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{2}.
(Coloquei uma constante C_1 aqui só para lembrar que cada antiderivada pode ter uma constante; no final juntamos tudo numa única constante C.)

Passo 6

Integrando o segundo termo:\n
Para \int x\,dx temos n=1, então
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C_2.
Multiplicando por 5:
5\int x\,dx = 5\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{5x^{2}}{2}.

Passo 7

Somando os resultados e colocando a constante de integração única:\n
\int\left(2 x^{3}+5 x\right)\,dx = \frac{x^{4}}{2}+\frac{5x^{2}}{2}+C.
Podemos, se preferir, escrever fatorando \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\big(x^{4}+5x^{2}\big)+C.

Passo 8

Verificação (importante para a prova):\n
Derivando a resposta para checar se volta ao integrando:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{2}+\frac{5x^{2}}{2}\right) = \frac{4x^{3}}{2}+\frac{10x}{2} = 2x^{3}+5x,
que é exatamente o integrando. Assim a resposta está correta.

Resposta

\dfrac{x^{4}}{2}+\dfrac{5x^{2}}{2}+C

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