. Questão. (4,0 pontos) Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a ser integrada é
. - A integral é indefinida, portanto a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
O que é uma integral indefinida (explicação didática):\n
A integral indefinida de uma função é o conjunto de todas as funções
cuja derivada é
. Escrevemos isso assim:
A integral indefinida de uma função
onde
é uma constante arbitrária (a chamada constante de integração).\n
Na prova, quando vir , pense: “Qual função eu derivaria para obter
?”
Na prova, quando vir
Passo 3
Propriedades que vamos usar (explicação simples):\n
- Linearidade da integral: para constantes
e funções ,
Isto permite integrar termo a termo e puxar constantes para fora da integral.\n
2) Regra do poder (power rule) para integrais: para ,
2) Regra do poder (power rule) para integrais: para
Essa regra é o “inverso” da regra da derivada
. Por exemplo, se
, então
ou seja, funciona como antiderivada.
Passo 4
Aplicando linearidade: escrevemos
Puxamos as constantes
e
para fora das integrais.
Passo 5
Integrando o primeiro termo usando a regra do poder:\n
Para temos
, então
Para
Multiplicando por
:
(Coloquei uma constante
aqui só para lembrar que cada antiderivada pode ter uma constante; no final juntamos tudo numa única constante
.)
Passo 6
Integrando o segundo termo:\n
Para temos
, então
Para
Multiplicando por
:
Passo 7
Somando os resultados e colocando a constante de integração única:\n
Podemos, se preferir, escrever fatorando
:
Passo 8
Verificação (importante para a prova):\n
Derivando a resposta para checar se volta ao integrando:
Derivando a resposta para checar se volta ao integrando:
que é exatamente o integrando. Assim a resposta está correta.