4^{\underline{a}} Questão: (2.5 pontos) Seja f(x, y)=81 x^{2}+y^{2} definida em D= \left\{4 x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}
(a) Determine e classifique os pontos críticos em \left\{4 x^{2}+\right. \left.y^{2}<9\right\}
(b) Determine os valores máximos e míminos na fronteira \left\{4 x^{2}+y^{2}=9\right\}
(c) Determine os valores máximos e míminos absolutos de f na região D=\left\{4 x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados do enunciado:
  • A função é f(x,y)=81x^{2}+y^{2}.
  • A região fechada é D=\{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}\le 9\}.
  • A fronteira é a elipse \{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}=9\}.
O que é pedido:
(a) Determinar e classificar os pontos críticos em \{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}<9\} (ou seja, no interior da elipse).
(b) Determinar os valores máximos e mínimos de f na fronteira \{4x^{2}+y^{2}=9\}.
(c) Determinar os valores máximos e mínimos absolutos de f na região fechada D.
Informações relevantes que vamos usar (lista):
  • Para pontos críticos de f sem restrição usamos \nabla f=0.
  • Para classificar um ponto crítico usamos a matriz Hessiana \mathrm{H}f e verificar se é definida positiva/negativa.
  • Para extremos sujeitos à restrição g(x,y)=4x^{2}+y^{2}-9=0 usaremos multiplicadores de Lagrange: \nabla f=\lambda \nabla g.
  • A região D é compacta e f é contínua, logo f atinge máximos e mínimos absolutos em D (teorema de Weierstrass).

Passo 2

Encontrar os pontos críticos interiores (fase de cálculo direto).
Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=162x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Resolver o sistema \nabla f=(0,0), isto é:
162x=0,\qquad 2y=0.
Daí segue diretamente que
x=0,\qquad y=0.
Portanto há um único ponto crítico sem restrição: (0,0). Note que (0,0) está no interior porque 4\cdot 0^{2}+0^{2}=0<9.

Passo 3

Classificar o ponto crítico (0,0) usando a Hessiana.
A matriz Hessiana de f é
\mathrm{H}f(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\[4pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 162 & 0 \\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.
Explicando: \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=162, \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2 e as mistas são 0.
Para classificar um ponto crítico em duas variáveis, verificamos os autovalores da Hessiana ou os determinantes das menores principais:
  • O primeiro elemento 162>0.
  • O determinante da Hessiana é 162\cdot 2-0=324>0.
Como ambos são positivos, a Hessiana é definida positiva em (0,0), o que implica que (0,0) é um mínimo local (na verdade, mínimo estrito). Além disso, como f(0,0)=0 e f\ge 0 para todos os (x,y), é mínimo global relativo ao plano, mas aqui enfatizamos: é mínimo na região interior pedida.]

Passo 4

Explicação didática rápida sobre por que a Hessiana diz se é mínimo ou máximo.
Breve aula: para uma função duas vezes diferenciável, perto de um ponto crítico p a função pode ser aproximada por um polinômio quadrático com coeficientes da Hessiana. Se a Hessiana é definida positiva, esse polinômio é estritamente positivo fora de p, indicando mínimo; se é definida negativa, indica máximo; se indefinida, é ponto de sela. Aqui ambas as segundas derivadas principais positivas e determinante positivo garantem definida positiva.

Passo 5

Agora tratar a fronteira usando multiplicadores de Lagrange (explicação do método).
Princípio: para encontrar extremos de f sujeitos à restrição g(x,y)=0 com g(x,y)=4x^{2}+y^{2}-9, procuramos (x,y) e \lambda tais que:
\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y) \qquad\text{e}\qquad g(x,y)=0.
Isto dá o sistema
162x=\lambda\cdot 8x, \qquad 2y=\lambda\cdot 2y, \qquad 4x^{2}+y^{2}=9.
Vou resolver esse sistema com cuidado, considerando os casos possíveis (quando x ou y podem ser zero).

Passo 6

Resolver o sistema de Lagrange por casos.
Das duas primeiras equações temos:
162x=8\lambda x,\qquad 2y=2\lambda y.
Podemos rearranjar cada uma como
x(162-8\lambda)=0,\qquad y(2-2\lambda)=0.
Isto implica que, para cada coordenada, ou a coordenada é zero ou o fator entre parênteses é zero.
Vamos analisar os casos:
Caso 1: x\neq 0 e y\neq 0.
Então 162-8\lambda=0 e 2-2\lambda=0. Da segunda equação segue \lambda=1. Da primeira segue \lambda=\dfrac{162}{8}=\dfrac{81}{4}. Essas duas condições são incompatíveis ( 1\neq \tfrac{81}{4}), então não existem soluções com x\neq 0 e y\neq 0.
Logo pelo menos uma das coordenadas deve ser zero. Dois subcasos:
Caso 2: x=0.
A restrição dá y^{2}=9 então y=\pm 3. Verificar as equações de Lagrange: com x=0 a primeira equação é 0=0 (ok). A segunda com y\neq 0 implica 2=2\lambda então \lambda=1. Isso é consistente. Portanto obtemos os pontos
(0,3)\quad\text{e}\quad(0,-3).
Caso 3: y=0.
A restrição dá 4x^{2}=9 então x=\pm \dfrac{3}{2}. Com y=0 a segunda equação é 0=0 (ok). A primeira com x\neq 0 implica 162=8\lambda então \lambda=\dfrac{162}{8}=\dfrac{81}{4}. Isso é consistente. Portanto obtemos os pontos
\Bigl(\tfrac{3}{2},0\Bigr)\quad\text{e}\quad\Bigl(-\tfrac{3}{2},0\Bigr).
Não há outros casos, então esses quatro pontos são os candidatos a extremos na fronteira.

Passo 7

Calcular os valores de f nesses pontos da fronteira.
Avaliar f em cada ponto:
Para (0,3) e (0,-3):
f(0,\pm 3)=81\cdot 0^{2}+(\pm 3)^{2}=9.
Para \Bigl(\pm \tfrac{3}{2},0\Bigr):
f\Bigl(\pm \tfrac{3}{2},0\Bigr)=81\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}+0^{2} =81\cdot \tfrac{9}{4}=\tfrac{729}{4}.
Comparando os valores:
9=\tfrac{36}{4}<\tfrac{729}{4}.
Portanto, sobre a fronteira \{4x^{2}+y^{2}=9\} o menor valor encontrado é 9 nos pontos (0,\pm 3) e o maior valor é \tfrac{729}{4} nos pontos \bigl(\pm\tfrac{3}{2},0\bigr).

Passo 8

Concluir os extremos absolutos na região fechada D.
Razão: D é compacto e f é contínua, então f atinge máximo e mínimo absolutos em D. Já encontramos:
  • O único ponto crítico interior é (0,0) com f(0,0)=0.
  • Na fronteira os valores variam entre 9 e \tfrac{729}{4}.
Portanto o menor valor absoluto em D é 0 atingido em (0,0). O maior valor absoluto em D é \tfrac{729}{4} atingido nos pontos \bigl(\pm\tfrac{3}{2},0\bigr).

Passo 9

Resumo final (rápido lembrete do porquê):
  • O único ponto crítico interior veio de \nabla f=0.
  • Classificação por Hessiana mostrou mínimo (definida positiva).
  • Multiplicadores de Lagrange forneceram os candidatos na fronteira; avaliando f nesses pontos identificamos mínimo e máximo da fronteira.
  • Comparando interior e fronteira obtemos os extremos absolutos em D.

Resposta

(a) Ponto crítico em \{4x^{2}+y^{2}<9\}: (0,0), classificado como mínimo (Hessiana definida positiva), com f(0,0)=0.
(b) Na fronteira \{4x^{2}+y^{2}=9\}: mínimos f(0,\pm 3)=9; máximos f\bigl(\pm\tfrac{3}{2},0\bigr)=\tfrac{729}{4}.
(c) Máximo absoluto em D: f\bigl(\pm\tfrac{3}{2},0\bigr)=\tfrac{729}{4}. Mínimo absoluto em D: f(0,0)=0.

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