4^{\underline{a}} Questão: (2.5 pontos) Seja f(x, y)=81 x^{2}+y^{2} definida em D= \left\{4 x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}
(a) Determine e classifique os pontos críticos em \left\{4 x^{2}+\right. \left.y^{2}<9\right\}
(b) Determine os valores máximos e míminos na fronteira \left\{4 x^{2}+y^{2}=9\right\}
(c) Determine os valores máximos e míminos absolutos de f na região D=\left\{4 x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados do enunciado:
A função é f(x,y)=81x^{2}+y^{2}.
A região fechada é D=\{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}\le 9\}.
A fronteira é a elipse \{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}=9\}.
O que é pedido:
(a) Determinar e classificar os pontos críticos em \{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}<9\} (ou seja, no interior da elipse).
(b) Determinar os valores máximos e mínimos de f na fronteira \{4x^{2}+y^{2}=9\}.
(c) Determinar os valores máximos e mínimos absolutos de f na região fechada D.
Informações relevantes que vamos usar (lista):
Para pontos críticos de f sem restrição usamos \nabla f=0.
Para classificar um ponto crítico usamos a matriz Hessiana \mathrm{H}f e verificar se é definida positiva/negativa.
Para extremos sujeitos à restrição g(x,y)=4x^{2}+y^{2}-9=0 usaremos multiplicadores de Lagrange: \nabla f=\lambda \nabla g.
A região D é compacta e f é contínua, logo f atinge máximos e mínimos absolutos em D (teorema de Weierstrass).
Passo 2
Encontrar os pontos críticos interiores (fase de cálculo direto).
Explicando: \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=162, \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2 e as mistas são 0.
Para classificar um ponto crítico em duas variáveis, verificamos os autovalores da Hessiana ou os determinantes das menores principais:
O primeiro elemento 162>0.
O determinante da Hessiana é 162\cdot 2-0=324>0.
Como ambos são positivos, a Hessiana é definida positiva em (0,0), o que implica que (0,0) é um mínimo local (na verdade, mínimo estrito). Além disso, como f(0,0)=0 e f\ge 0 para todos os (x,y), é mínimo global relativo ao plano, mas aqui enfatizamos: é mínimo na região interior pedida.]
Passo 4
Explicação didática rápida sobre por que a Hessiana diz se é mínimo ou máximo.
Breve aula: para uma função duas vezes diferenciável, perto de um ponto crítico p a função pode ser aproximada por um polinômio quadrático com coeficientes da Hessiana. Se a Hessiana é definida positiva, esse polinômio é estritamente positivo fora de p, indicando mínimo; se é definida negativa, indica máximo; se indefinida, é ponto de sela. Aqui ambas as segundas derivadas principais positivas e determinante positivo garantem definida positiva.
Passo 5
Agora tratar a fronteira usando multiplicadores de Lagrange (explicação do método).
Princípio: para encontrar extremos de f sujeitos à restrição g(x,y)=0 com g(x,y)=4x^{2}+y^{2}-9, procuramos (x,y) e \lambda tais que:
Vou resolver esse sistema com cuidado, considerando os casos possíveis (quando x ou y podem ser zero).
Passo 6
Resolver o sistema de Lagrange por casos.
Das duas primeiras equações temos:
162x=8\lambda x,\qquad 2y=2\lambda y.
Podemos rearranjar cada uma como
x(162-8\lambda)=0,\qquad y(2-2\lambda)=0.
Isto implica que, para cada coordenada, ou a coordenada é zero ou o fator entre parênteses é zero.
Vamos analisar os casos:
Caso 1: x\neq 0 e y\neq 0.
Então 162-8\lambda=0 e 2-2\lambda=0. Da segunda equação segue \lambda=1. Da primeira segue \lambda=\dfrac{162}{8}=\dfrac{81}{4}. Essas duas condições são incompatíveis (1\neq \tfrac{81}{4}), então não existem soluções com x\neq 0 e y\neq 0.
Logo pelo menos uma das coordenadas deve ser zero. Dois subcasos:
Caso 2: x=0.
A restrição dá y^{2}=9 então y=\pm 3. Verificar as equações de Lagrange: com x=0 a primeira equação é 0=0 (ok). A segunda com y\neq 0 implica 2=2\lambda então \lambda=1. Isso é consistente. Portanto obtemos os pontos
(0,3)\quad\text{e}\quad(0,-3).
Caso 3: y=0.
A restrição dá 4x^{2}=9 então x=\pm \dfrac{3}{2}. Com y=0 a segunda equação é 0=0 (ok). A primeira com x\neq 0 implica 162=8\lambda então \lambda=\dfrac{162}{8}=\dfrac{81}{4}. Isso é consistente. Portanto obtemos os pontos
Portanto, sobre a fronteira \{4x^{2}+y^{2}=9\} o menor valor encontrado é 9 nos pontos (0,\pm 3) e o maior valor é \tfrac{729}{4} nos pontos \bigl(\pm\tfrac{3}{2},0\bigr).
Passo 8
Concluir os extremos absolutos na região fechada D.
Razão: D é compacto e f é contínua, então f atinge máximo e mínimo absolutos em D. Já encontramos:
O único ponto crítico interior é (0,0) com f(0,0)=0.
Na fronteira os valores variam entre 9 e \tfrac{729}{4}.
Portanto o menor valor absoluto em D é 0 atingido em (0,0). O maior valor absoluto em D é \tfrac{729}{4} atingido nos pontos \bigl(\pm\tfrac{3}{2},0\bigr).
Passo 9
Resumo final (rápido lembrete do porquê):
O único ponto crítico interior veio de \nabla f=0.
Classificação por Hessiana mostrou mínimo (definida positiva).
Multiplicadores de Lagrange forneceram os candidatos na fronteira; avaliando f nesses pontos identificamos mínimo e máximo da fronteira.
Comparando interior e fronteira obtemos os extremos absolutos em D.
Resposta
(a) Ponto crítico em \{4x^{2}+y^{2}<9\}: (0,0), classificado como mínimo (Hessiana definida positiva), com f(0,0)=0.
(b) Na fronteira \{4x^{2}+y^{2}=9\}: mínimos f(0,\pm 3)=9; máximos f\bigl(\pm\tfrac{3}{2},0\bigr)=\tfrac{729}{4}.
(c) Máximo absoluto em D: f\bigl(\pm\tfrac{3}{2},0\bigr)=\tfrac{729}{4}. Mínimo absoluto em D: f(0,0)=0.