3^{\underline{a}} Questão: (2.5 pontos) Seja z=f(x, y) onde f é diferenciável e x=g(t) e y=h(t) com g(3)=4, h(3)=7, g^{\prime}(3)=2, h^{\prime}(3)=-3, f_{x}(4,7)=-1 e f_{y}(4,7)=9.
Determine \left.\frac{d z}{d t}\right|_{t=3}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar \left.\dfrac{dz}{dt}\right|_{t=3} onde z=f(x,y) e x=g(t),\,y=h(t).
Informações fornecidas:
  • g(3)=4
  • h(3)=7
  • g'(3)=2
  • h'(3)=-3
  • f_x(4,7)=-1 (derivada parcial de f em relação a x no ponto (4,7))
  • f_y(4,7)=9 (derivada parcial de f em relação a y no ponto (4,7))

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (cadeia para funções de várias variáveis):
Se z=f(x,y) é diferenciável e x=x(t),\,y=y(t), então a taxa de variação de z em relação a t é dada pela regra da cadeia:
\frac{dz}{dt}=f_x(x(t),y(t))\cdot \frac{dx}{dt}+f_y(x(t),y(t))\cdot \frac{dy}{dt}.
Explicando cada termo:
  • f_x(x,y) é a derivada parcial de f em relação a x: mede quanto f muda quando x varia e y fica fixo.
  • f_y(x,y) é a derivada parcial de f em relação a y: mede quanto f muda quando y varia e x fica fixo.
  • \dfrac{dx}{dt}=g'(t) e \dfrac{dy}{dt}=h'(t) são as taxas de variação de x e y em relação a t.
    A ideia é somar as contribuições de x e de y para a variação total de z.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso e avaliando em t=3:
\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=3}=f_x\bigl(g(3),h(3)\bigr)\cdot g'(3)+f_y\bigl(g(3),h(3)\bigr)\cdot h'(3).
Agora vamos substituir os valores conhecidos.

Passo 4

Substituindo g(3)=4 e h(3)=7 e as derivadas parciais dadas:
\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=3}=f_x(4,7)\cdot g'(3)+f_y(4,7)\cdot h'(3).
Substituindo os números:
\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=3}=(-1)\cdot 2 + 9\cdot (-3).

Passo 5

Calculando cada produto:
(-1)\cdot 2 = -2,\qquad 9\cdot (-3) = -27.
Somando:
-2 + (-27) = -29.

Passo 6

Interpretação rápida (motiva e anima): o resultado negativo -29 significa que, naquele instante t=3, um pequeno aumento em t causa uma grande diminuição em z. Beleza — conseguimos! Respira e bora pro próximo exercício.

Resposta

-29

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