3^{\underline{a}} Questão: (2.5 pontos) Seja z=f(x, y) onde f é diferenciável e x=g(t) e y=h(t) com g(3)=4, h(3)=7, g^{\prime}(3)=2, h^{\prime}(3)=-3, f_{x}(4,7)=-1 e f_{y}(4,7)=9.
Determine \left.\frac{d z}{d t}\right|_{t=3}.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar \left.\dfrac{dz}{dt}\right|_{t=3} onde z=f(x,y) e x=g(t),\,y=h(t).
Informações fornecidas:
g(3)=4
h(3)=7
g'(3)=2
h'(3)=-3
f_x(4,7)=-1 (derivada parcial de f em relação a x no ponto (4,7))
f_y(4,7)=9 (derivada parcial de f em relação a y no ponto (4,7))
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (cadeia para funções de várias variáveis):
Se z=f(x,y) é diferenciável e x=x(t),\,y=y(t), então a taxa de variação de z em relação a t é dada pela regra da cadeia:
f_x(x,y) é a derivada parcial de f em relação a x: mede quanto f muda quando x varia e y fica fixo.
f_y(x,y) é a derivada parcial de f em relação a y: mede quanto f muda quando y varia e x fica fixo.
\dfrac{dx}{dt}=g'(t) e \dfrac{dy}{dt}=h'(t) são as taxas de variação de x e y em relação a t.
A ideia é somar as contribuições de x e de y para a variação total de z.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso e avaliando em t=3:
Interpretação rápida (motiva e anima): o resultado negativo -29 significa que, naquele instante t=3, um pequeno aumento em t causa uma grande diminuição em z. Beleza — conseguimos! Respira e bora pro próximo exercício.