O enunciado pede: determinar o limite, se existir, ou mostrar que não existe, de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{4}}.
As informações dadas são a expressão da função racional de duas variáveis e o ponto de interesse (0,0). O que se quer saber é se, quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho, o valor da função se aproxima de um mesmo número finito; caso contrário, provar que o limite não existe.
Passo 2
Breve lembrete teórico (bem mastigado): em várias variáveis, dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
significa que para toda sequência (x_n,y_n) com (x_n,y_n)\to(0,0) tem-se f(x_n,y_n)\to L. Uma forma prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas sequências (ou dois caminhos) que tendem para (0,0) mas fazem f tender a valores diferentes, ou encontrar uma sequência que faz f divergir (tornar-se arbitrariamente grande). Por isso vou testar alguns caminhos simples.
Passo 3
Testando caminhos óbvios: linha x=0 e linha y=0.
Se x=0 (variando y\to0), a expressão fica
\frac{0\cdot y}{0^{2}+y^{4}}=0.
Logo ao longo de x=0 o valor tende a 0.
Se y=0 (variando x\to0), a expressão fica
\frac{x\cdot 0}{x^{2}+0^{4}}=0.
Logo ao longo de y=0 o valor também tende a 0.
Observação importante: resultados iguais em alguns caminhos não provam existência do limite. Precisamos testar outros caminhos.
Passo 4
Escolha estratégica de um caminho mais adaptado: observar o denominador x^{2}+y^{4}. Uma boa ideia é escolher x com tamanho da ordem de y^{2}, porque então x^{2} terá ordem y^{4} e os dois termos do denominador ficarão da mesma ordem, possibilitando cancelamentos que podem revelar comportamento divergente. Assim experimento o caminho
x=y^{2}.
Passo 5
Substituir x=y^{2} na função e simplificar passo a passo:
Análise do resultado obtido ao longo do caminho x=y^{2}: a expressão reduzida é
\frac{1}{2y}.
Quando y\to0^{+} isso tende a +\infty; quando y\to0^{-} tende a -\infty. Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) por pontos da forma (y^{2},y) a função não tende a um valor finito, ela diverge (com sinais opostos conforme o sentido de y).
Passo 7
Dar uma forma sequencial e bem rigorosa: escolha a sequência y_n=\tfrac{1}{n} e x_n=\tfrac{1}{n^{2}}. Então (x_n,y_n)\to(0,0) quando n\to\infty. Substituindo,
Analogamente, com y_n=-\tfrac{1}{n} e x_n=\tfrac{1}{n^{2}} obtém-se f(x_n,y_n)=-\tfrac{n}{2}\to-\infty. Assim existem sequências que tendem a (0,0) para as quais os valores de f tendem a +\infty e outras que tendem a -\infty. Isso impede a existência de um limite finito — e até impede existência de limite infinito unívoco.
Passo 8
Conclusão final: como foi encontrado um caminho/seqüência que faz a função divergir (e com sinais opostos por outro caminho), o limite não existe.