1^{\underline{a}} Questão: (2.5 pontos)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o limite, se existir, ou mostrar que não existe, de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{4}}.
As informações dadas são a expressão da função racional de duas variáveis e o ponto de interesse (0,0). O que se quer saber é se, quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho, o valor da função se aproxima de um mesmo número finito; caso contrário, provar que o limite não existe.

Passo 2

Breve lembrete teórico (bem mastigado): em várias variáveis, dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
significa que para toda sequência (x_n,y_n) com (x_n,y_n)\to(0,0) tem-se f(x_n,y_n)\to L. Uma forma prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas sequências (ou dois caminhos) que tendem para (0,0) mas fazem f tender a valores diferentes, ou encontrar uma sequência que faz f divergir (tornar-se arbitrariamente grande). Por isso vou testar alguns caminhos simples.

Passo 3

Testando caminhos óbvios: linha x=0 e linha y=0.
  • Se x=0 (variando y\to0), a expressão fica
\frac{0\cdot y}{0^{2}+y^{4}}=0.
Logo ao longo de x=0 o valor tende a 0.
  • Se y=0 (variando x\to0), a expressão fica
\frac{x\cdot 0}{x^{2}+0^{4}}=0.
Logo ao longo de y=0 o valor também tende a 0.
Observação importante: resultados iguais em alguns caminhos não provam existência do limite. Precisamos testar outros caminhos.

Passo 4

Escolha estratégica de um caminho mais adaptado: observar o denominador x^{2}+y^{4}. Uma boa ideia é escolher x com tamanho da ordem de y^{2}, porque então x^{2} terá ordem y^{4} e os dois termos do denominador ficarão da mesma ordem, possibilitando cancelamentos que podem revelar comportamento divergente. Assim experimento o caminho
x=y^{2}.

Passo 5

Substituir x=y^{2} na função e simplificar passo a passo:
f(y^{2},y)=\frac{(y^{2})\cdot y}{(y^{2})^{2}+y^{4}}.
Calculemos os termos:
(y^{2})\cdot y = y^{3}, \qquad (y^{2})^{2}=y^{4}.
Logo
f(y^{2},y)=\frac{y^{3}}{y^{4}+y^{4}}=\frac{y^{3}}{2y^{4}}=\frac{1}{2y},
para y\neq0.

Passo 6

Análise do resultado obtido ao longo do caminho x=y^{2}: a expressão reduzida é
\frac{1}{2y}.
Quando y\to0^{+} isso tende a +\infty; quando y\to0^{-} tende a -\infty. Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) por pontos da forma (y^{2},y) a função não tende a um valor finito, ela diverge (com sinais opostos conforme o sentido de y).

Passo 7

Dar uma forma sequencial e bem rigorosa: escolha a sequência y_n=\tfrac{1}{n} e x_n=\tfrac{1}{n^{2}}. Então (x_n,y_n)\to(0,0) quando n\to\infty. Substituindo,
f(x_n,y_n)=f\Big(\tfrac{1}{n^{2}},\tfrac{1}{n}\Big)=\frac{1/n^{3}}{1/n^{4}+1/n^{4}}=\frac{1/n^{3}}{2/n^{4}}=\frac{n}{2}\xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty.
Analogamente, com y_n=-\tfrac{1}{n} e x_n=\tfrac{1}{n^{2}} obtém-se f(x_n,y_n)=-\tfrac{n}{2}\to-\infty. Assim existem sequências que tendem a (0,0) para as quais os valores de f tendem a +\infty e outras que tendem a -\infty. Isso impede a existência de um limite finito — e até impede existência de limite infinito unívoco.

Passo 8

Conclusão final: como foi encontrado um caminho/seqüência que faz a função divergir (e com sinais opostos por outro caminho), o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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