(a) Encontrar k\in\mathbb{R} de modo que f seja contínua em x=0.
(b) Com esse valor de k, verificar se f é contínua para todo x\in\mathbb{R} e justificar.
Informações relevantes dadas no enunciado:
A definição de f está dividida em três partes: uma expressão para x>0, outra para x<0 e um valor fixo k em x=0.
Precisamos comparar o valor de f em 0 com os limites laterais \lim_{x\to0^-} f(x) e \lim_{x\to0^+} f(x) para decidir k.
As expressões envolvem e^{x^{2}}, x\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) e \ln(3x^{2}+1), que são funções conhecidas mas que exigem cuidado ao avaliar quando x\to0.]
Passo 2
Lembrete (aula rápida e prática) sobre continuidade num ponto e limites laterais.
Definição prática: Uma função f é contínua em x=0 se, e somente se,
\lim_{x\to0} f(x)=f(0).
Para que \lim_{x\to0} f(x) exista e seja igual a f(0), é necessário que as duas limites laterais existam e coincidam:
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^+} f(x)=f(0).
Quando temos uma função definida por partes, o procedimento padrão na prova é: calcular \lim_{x\to0^-} f(x), calcular \lim_{x\to0^+} f(x), ver se são iguais e então escolher k igual a esse valor comum.
Vou aplicar isso passo a passo; quando eu usar um resultado (por exemplo: se g é contínua em a então \lim_{x\to a}g(x)=g(a)), eu vou explicar por que vale aqui.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to0^-} f(x).
Para x<0 temos f(x)=1+\ln\big(3x^{2}+1\big).
Observação: 3x^{2}+1 é contínua em todo \mathbb{R} e, em particular, em x=0. Como 3x^{2}+1>0 para todo x, o logaritmo natural está bem definido.
Pelo fato de composição de funções contínuas ser contínua, a função x\mapsto \ln(3x^{2}+1) é contínua em 0. Logo
Quando x\to0^+ temos |x|\to 0. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), se |x\cos(1/x^{2})|\le |x| e |x|\to0 então x\cos(1/x^{2})\to0. Logo
Encontramos \lim_{x\to0^-} f(x)=1 e \lim_{x\to0^+} f(x)=1. Logo o limite \lim_{x\to0} f(x) existe e vale 1.
Para que f seja contínua em 0 é necessário e suficiente que f(0)=k seja igual a esse limite. Portanto devemos escolher
k=1.
Passo 6
Verificar continuidade de f em todo \mathbb{R} com k=1.
Devemos checar continuidade em três tipos de pontos: x=0, x>0 e x<0.
Em x=0:
Já ajustamos k=1 e mostramos que \lim_{x\to0} f(x)=1. Assim f(0)=1 e f é contínua em 0.
Em pontos x>0:
Para x>0 a expressão é f(x)=e^{x^{2}}+x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right).
As funções x\mapsto x^{2}, t\mapsto e^{t}, x\mapsto \dfrac{1}{x^{2}} e u\mapsto \cos u são contínuas em seus domínios (observe que \dfrac{1}{x^{2}} está bem definida para x\neq0). Produto e soma de funções contínuas são contínuos. Portanto f é contínua em todo ponto de (0,\infty).
Em pontos x<0:
Para x<0 a expressão é f(x)=1+\ln(3x^{2}+1).
A função x\mapsto 3x^{2}+1 é contínua e sempre positiva, e t\mapsto \ln t é contínua para t>0. Composição e soma mantêm continuidade. Logo f é contínua em todo ponto de (-\infty,0).
Juntando: f é contínua em (-\infty,0), contínua em (0,\infty) e contínua em 0 (com k=1). Portanto f é contínua em todo \mathbb{R}.