3^{\underline{a}}\) Questão: Seja a função: \[f(x)= \begin{cases}e^{x^{2}}+x \cos \left(\frac{1}{x^{2}}\right), & x>0 \\\\ 1+\ln \left(3 x^{2}+1\right) & x<0 \\\ k, & x=0\end{cases}
a) Encontre k \in \mathbb{R}\] de forma que a função dada seja contínua em \(x=0.
b) Com a sua escolha de k, a função f é contínua em todo x \in \mathbb{R} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)= \begin{cases}e^{x^{2}}+x \cos \left(\frac{1}{x^{2}}\right), & x>0 \\[4pt] 1+\ln \left(3 x^{2}+1\right), & x<0 \\[4pt] k, & x=0\end{cases}
e pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar k\in\mathbb{R} de modo que f seja contínua em x=0.
  2. (b) Com esse valor de k, verificar se f é contínua para todo x\in\mathbb{R} e justificar.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A definição de f está dividida em três partes: uma expressão para x>0, outra para x<0 e um valor fixo k em x=0.
  • Precisamos comparar o valor de f em 0 com os limites laterais \lim_{x\to0^-} f(x) e \lim_{x\to0^+} f(x) para decidir k.
  • As expressões envolvem e^{x^{2}}, x\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) e \ln(3x^{2}+1), que são funções conhecidas mas que exigem cuidado ao avaliar quando x\to0.]

Passo 2

Lembrete (aula rápida e prática) sobre continuidade num ponto e limites laterais.
  • Definição prática: Uma função f é contínua em x=0 se, e somente se,
\lim_{x\to0} f(x)=f(0).
  • Para que \lim_{x\to0} f(x) exista e seja igual a f(0), é necessário que as duas limites laterais existam e coincidam:
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^+} f(x)=f(0).
  • Quando temos uma função definida por partes, o procedimento padrão na prova é: calcular \lim_{x\to0^-} f(x), calcular \lim_{x\to0^+} f(x), ver se são iguais e então escolher k igual a esse valor comum.
Vou aplicar isso passo a passo; quando eu usar um resultado (por exemplo: se g é contínua em a então \lim_{x\to a}g(x)=g(a)), eu vou explicar por que vale aqui.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to0^-} f(x).
Para x<0 temos f(x)=1+\ln\big(3x^{2}+1\big).
  • Observação: 3x^{2}+1 é contínua em todo \mathbb{R} e, em particular, em x=0. Como 3x^{2}+1>0 para todo x, o logaritmo natural está bem definido.
  • Pelo fato de composição de funções contínuas ser contínua, a função x\mapsto \ln(3x^{2}+1) é contínua em 0. Logo
\lim_{x\to0^-} \ln\big(3x^{2}+1\big)=\ln\big(3\cdot 0^{2}+1\big)=\ln(1)=0.
  • Portanto
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^-}\big(1+\ln(3x^{2}+1)\big)=1+0=1.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to0^+} f(x).
Para x>0 temos f(x)=e^{x^{2}}+x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right).
Vamos tratar os dois termos separadamente e usar propriedades de limites:
  1. O termo e^{x^{2}}:
  • A função x\mapsto x^{2} é contínua e e^{t} é contínua, logo a composição x\mapsto e^{x^{2}} é contínua. Assim
\lim_{x\to0^+} e^{x^{2}} = e^{0^{2}}=e^{0}=1.
  1. O termo x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right):
  • Aqui \cos é limitada: para todo u\in\mathbb{R} temos -1\le \cos u\le 1. Em particular, para u=\dfrac{1}{x^{2}} (quando x\neq0) vale
-1\le \cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)\le 1.
  • Multiplicando por |x| (que é não negativo) obtemos a desigualdade por valor absoluto:
|x\cos\!\left(\tfrac{1}{x^{2}}\right)| \le |x|\cdot 1 = |x|.
  • Quando x\to0^+ temos |x|\to 0. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), se |x\cos(1/x^{2})|\le |x| e |x|\to0 então x\cos(1/x^{2})\to0. Logo
\lim_{x\to0^+} x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)=0.
  1. Somando os limites (já que ambos existem),
\lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+} e^{x^{2}} + \lim_{x\to0^+} x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1+0=1.

Passo 5

Concluir o valor de k para continuidade em 0.
  • Encontramos \lim_{x\to0^-} f(x)=1 e \lim_{x\to0^+} f(x)=1. Logo o limite \lim_{x\to0} f(x) existe e vale 1.
  • Para que f seja contínua em 0 é necessário e suficiente que f(0)=k seja igual a esse limite. Portanto devemos escolher
k=1.

Passo 6

Verificar continuidade de f em todo \mathbb{R} com k=1.
Devemos checar continuidade em três tipos de pontos: x=0, x>0 e x<0.
  1. Em x=0:
  • Já ajustamos k=1 e mostramos que \lim_{x\to0} f(x)=1. Assim f(0)=1 e f é contínua em 0.
  1. Em pontos x>0:
  • Para x>0 a expressão é f(x)=e^{x^{2}}+x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right).
  • As funções x\mapsto x^{2}, t\mapsto e^{t}, x\mapsto \dfrac{1}{x^{2}} e u\mapsto \cos u são contínuas em seus domínios (observe que \dfrac{1}{x^{2}} está bem definida para x\neq0). Produto e soma de funções contínuas são contínuos. Portanto f é contínua em todo ponto de (0,\infty).
  1. Em pontos x<0:
  • Para x<0 a expressão é f(x)=1+\ln(3x^{2}+1).
  • A função x\mapsto 3x^{2}+1 é contínua e sempre positiva, e t\mapsto \ln t é contínua para t>0. Composição e soma mantêm continuidade. Logo f é contínua em todo ponto de (-\infty,0).
Juntando: f é contínua em (-\infty,0), contínua em (0,\infty) e contínua em 0 (com k=1). Portanto f é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

a) k=1\n
b) Sim. f é contínua em todo \mathbb{R}.

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