Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (5 x)-\cos (3 x)}{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(5x)-\cos(3x)}{x^{2}}.
Informações dadas: a expressão é a diferença de cossenos \cos(5x)-\cos(3x) dividida por x^{2} e a variável tende a 0. Não há outros dados escondidos.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil (soma-para-produto) é
\cos u - \cos v = -2\sin\!\biggl(\frac{u+v}{2}\biggr)\sin\!\biggl(\frac{u-v}{2}\biggr).
Explicando rapidamente de onde vem: essa fórmula é uma versão das fórmulas de soma e diferença de cosseno e pode ser obtida combinando \cos(u)=\cos\bigl(\frac{u+v}{2}+\frac{u-v}{2}\bigr) e \cos(v)=\cos\bigl(\frac{u+v}{2}-\frac{u-v}{2}\bigr) e usando as fórmulas de cosseno da soma e diferença. Não precisa decorar demais; basta saber que transforma diferença de cossenos em produto de senos, o que facilita limites quando x\to 0.

Passo 3

Aplicando a identidade com u=5x e v=3x obtemos
\cos(5x)-\cos(3x) = -2\sin\!\biggl(\frac{5x+3x}{2}\biggr)\sin\!\biggl(\frac{5x-3x}{2}\biggr) = -2\sin(4x)\sin(x).
Portanto o limite vira
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(5x)-\cos(3x)}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{-2\sin(4x)\sin(x)}{x^{2}}.

Passo 4

Vamos manipular a fração para usar o fato padrão \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Escrevemos
\frac{-2\sin(4x)\sin(x)}{x^{2}} = -2\cdot\frac{\sin(4x)}{4x}\cdot\frac{\sin(x)}{x}\cdot 4.
Detalhando a álgebra: \dfrac{\sin(4x)\sin(x)}{x^{2}} = \dfrac{\sin(4x)}{4x}\cdot\dfrac{\sin(x)}{x}\cdot 4. Multiplicando por -2 dá o fator -8 multiplicado pelos dois quocientes \dfrac{\sin(4x)}{4x} e \dfrac{\sin(x)}{x}.

Passo 5

Usamos o limite conhecido
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Assim
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(4x)}{4x}=1\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.
Pelo produto dos limites, temos
\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin(4x)\sin(x)}{x^{2}} = -8\cdot 1\cdot 1 = -8.

Passo 6

(Sugestão didática alternativa) Se você preferir ver com séries de Taylor: para t pequeno \cos t = 1 - \dfrac{t^{2}}{2} + o(t^{2}). Então
\cos(5x)-\cos(3x) = \Bigl(1-\frac{(5x)^{2}}{2}+o(x^{2})\Bigr) - \Bigl(1-\frac{(3x)^{2}}{2}+o(x^{2})\Bigr) = -\frac{25x^{2}-9x^{2}}{2}+o(x^{2}) = -8x^{2}+o(x^{2}).
Dividindo por x^{2} e passando ao limite dá também -8. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

-8

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