Calcule os limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão é a diferença de cossenos
dividida por
e a variável tende a
. Não há outros dados escondidos.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil (soma-para-produto) é
Explicando rapidamente de onde vem: essa fórmula é uma versão das fórmulas de soma e diferença de cosseno e pode ser obtida combinando
e
e usando as fórmulas de cosseno da soma e diferença. Não precisa decorar demais; basta saber que transforma diferença de cossenos em produto de senos, o que facilita limites quando
.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
obtemos
Portanto o limite vira
Passo 4
Vamos manipular a fração para usar o fato padrão
. Escrevemos
Detalhando a álgebra:
. Multiplicando por
dá o fator
multiplicado pelos dois quocientes
e
.
Passo 5
Usamos o limite conhecido
Assim
Pelo produto dos limites, temos
Passo 6
(Sugestão didática alternativa) Se você preferir ver com séries de Taylor: para
pequeno
. Então
Dividindo por
e passando ao limite dá também
. Isso confirma o resultado anterior.