7^{\underline{\mathrm{a}}} Questão:

Seja A=\left(\begin{array}{cccr}0 & -i & -2 & i \\\\ 1 & -1 & i & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 & -i \\\\ 1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right) \in M_{4}(\mathbb{C}). Determinar A^{-1}, caso exista.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & -i & -2 & i\\[4pt] 1 & -1 & i & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -i\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\in M_4(\mathbb{C})
e pede determinar A^{-1}, caso exista.
Informações relevantes do enunciado:
  • A matriz A é 4\times4 com entradas complexas (contendo i).
  • A tarefa é encontrar explicitamente A^{-1}, ou seja, a matriz B tal que AB=I_4.]

Passo 2

Método escolhido e por quê:
  • Vou obter A^{-1} resolvendo quatro sistemas lineares A x = e_j (uma coluna de A^{-1} por vez), onde e_j é o j-ésimo vetor canônico. Esse método é equivalente a fazer eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada [A\mid I], mas resolvendo coluna a coluna costuma ficar mais didático para acompanhar contas complexas sem perder passos.
  • Ideia básica: se A x^{(j)} = e_j, então x^{(j)} é a j-ésima coluna de A^{-1}.
Vou explicar passo a passo como montar e resolver cada sistema, mostrando a álgebra com números complexos (multiplicação, soma, inversão de complexos) de forma explícita.

Passo 3

Cálculo da 1ª coluna de [A^{-1}): resolver A x = e_1.
Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{T} e as equações de A x=e_1:
\begin{cases} -i x_2 -2 x_3 + i x_4 = 1,\\[4pt] x_1 - x_2 + i x_3 + x_4 = 0,\\[4pt] -x_2 + x_3 - i x_4 = 0,\\[4pt] x_1 + x_2 + x_3 = 0. \end{cases}
Passos de solução (resolver por substituição):
  1. Da última equação, \;x_1 = -x_2 - x_3.\] 2. Substituindo em segunda equação: \[(-x_2 - x_3) - x_2 + i x_3 + x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 2x_2 + (1 - i)x_3.\] 3. Substituir \(x_4 em terceira equação:
-x_2 + x_3 - i\big(2x_2 + (1 - i)x_3\big)=0.
Calcule -i(1 - i)= -i + i^2 = -i -1 = -(1 + i). Assim a equação fica
(-1-2i)x_2 - i x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad (-1-2i)x_2 = i x_3.
Invertendo o escalar complexo (-1-2i):
\frac{1}{-1-2i}=\frac{-1+2i}{5}.
Logo
x_2 = \frac{i x_3}{-1-2i} = x_3\cdot\frac{-2 - i}{5}.
  1. Substituir x_2 e x_4 na primeira equação:
-i x_2 -2 x_3 + i x_4 = 1.
Fazendo as substituições e simplificando (detalhes algébricos: produto de complexos e soma com denominador 5), obtém-se
x_3 = \frac{-4 -3i}{5}.
  1. A partir de x_3, calcula-se
x_2 = \frac{1+2i}{5},\qquad x_4 = -1 + i,\qquad x_1 = \frac{3 + i}{5}.
Portanto a 1ª coluna de A^{-1} é
\begin{pmatrix}\dfrac{3 + i}{5}\\[6pt]\dfrac{1 + 2i}{5}\\[6pt]\dfrac{-4 - 3i}{5}\\[6pt]-1 + i\end{pmatrix}.
(Obs.: em cada multiplicação/inversão de complexos usei a técnica padrão: para inverter a+bi calcular \dfrac{a-bi}{a^2+b^2}, e para multiplicar expandir e usar i^2=-1.)]

Passo 4

Cálculo da 2ª coluna de [A^{-1}): resolver A x = e_2.
Sistema:
\begin{cases} -i x_2 -2 x_3 + i x_4 = 0,\\[4pt] x_1 - x_2 + i x_3 + x_4 = 1,\\[4pt] -x_2 + x_3 - i x_4 = 0,\\[4pt] x_1 + x_2 + x_3 = 0. \end{cases}
Mesma estratégia (usar x_1 = -x_2 - x_3\], expressar \(x_4 da segunda equação e eliminar):
  • Da quarta: x_1=-x_2-x_3.
  • Da segunda: x_4 = 1 + 2x_2 + (1 - i)x_3.
  • Substituir na terceira e na primeira e resolver para x_2,x_3. Fazendo as contas (multiplicações e soma de complexos, invertendo complexos quando necessário) chega-se a
x_3 = \frac{-1 + 3i}{5},\qquad x_2 = \frac{-1 - 2i}{5}.
Então
x_4 = 1,\qquad x_1 = \frac{2 - i}{5}.
Portanto a 2ª coluna de A^{-1} é
\begin{pmatrix}\dfrac{2 - i}{5}\\[6pt]\dfrac{-1 - 2i}{5}\\[6pt]\dfrac{-1 + 3i}{5}\\[6pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo da 3ª coluna de [A^{-1}): resolver A x = e_3.
Sistema:
\begin{cases} -i x_2 -2 x_3 + i x_4 = 0,\\[4pt] x_1 - x_2 + i x_3 + x_4 = 0,\\[4pt] -x_2 + x_3 - i x_4 = 1,\\[4pt] x_1 + x_2 + x_3 = 0. \end{cases}
Repetindo o procedimento (substituir x_1=-x_2-x_3\], eliminar \(x_4 etc.) e fazendo a álgebra complexa com cuidado, obtém-se
x_3 = \frac{-1 - 2i}{5},\qquad x_2 = \frac{-1 + 3i}{5},
e então
x_4 = -1 + i,\qquad x_1 = \frac{2 - i}{5}.
Portanto a 3ª coluna de A^{-1} é
\begin{pmatrix}\dfrac{2 - i}{5}\\[6pt]\dfrac{-1 + 3i}{5}\\[6pt]\dfrac{-1 - 2i}{5}\\[6pt]-1 + i\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo da 4ª coluna de [A^{-1}): resolver A x = e_4.
Sistema:
\begin{cases} -i x_2 -2 x_3 + i x_4 = 0,\\[4pt] x_1 - x_2 + i x_3 + x_4 = 0,\\[4pt] -x_2 + x_3 - i x_4 = 0,\\[4pt] x_1 + x_2 + x_3 = 1. \end{cases}
Seguindo o mesmo processo (substituir x_1\], expressar \(x_4, eliminar), chega-se a
x_3 = \frac{1 - 3i}{5},\qquad x_2 = \frac{1 + 2i}{5},
e então
x_4 = -1,\qquad x_1 = \frac{3 + i}{5}.
Portanto a 4ª coluna de A^{-1} é
\begin{pmatrix}\dfrac{3 + i}{5}\\[6pt]\dfrac{1 + 2i}{5}\\[6pt]\dfrac{1 - 3i}{5}\\[6pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montagem final de A^{-1}:
  • Cada coluna encontrada é a coluna correspondente de A^{-1}.
  • Escrevendo-as lado a lado (cada linha com as entradas correspondentes às colunas 1…4), obtemos a matriz inversa completa.
(verificações rápidas: um pode conferir multiplicando A por cada coluna obtida e ver que o produto é o vetor canônico correspondente; nas contas acima fiz verificações parciais para garantir consistência.)

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{3 + i}{5} & \dfrac{2 - i}{5} & \dfrac{2 - i}{5} & \dfrac{3 + i}{5}\\[8pt] \dfrac{1 + 2i}{5} & \dfrac{-1 - 2i}{5} & \dfrac{-1 + 3i}{5} & \dfrac{1 + 2i}{5}\\[8pt] \dfrac{-4 - 3i}{5} & \dfrac{-1 + 3i}{5} & \dfrac{-1 - 2i}{5} & \dfrac{1 - 3i}{5}\\[8pt] -1 + i & 1 & -1 + i & -1 \end{pmatrix}.]

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