A matriz A é 4\times4 com entradas complexas (contendo i).
A tarefa é encontrar explicitamente A^{-1}, ou seja, a matriz B tal que AB=I_4.]
Passo 2
Método escolhido e por quê:
Vou obter A^{-1} resolvendo quatro sistemas lineares A x = e_j (uma coluna de A^{-1} por vez), onde e_j é o j-ésimo vetor canônico. Esse método é equivalente a fazer eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada [A\mid I], mas resolvendo coluna a coluna costuma ficar mais didático para acompanhar contas complexas sem perder passos.
Ideia básica: se A x^{(j)} = e_j, então x^{(j)} é a j-ésima coluna de A^{-1}.
Vou explicar passo a passo como montar e resolver cada sistema, mostrando a álgebra com números complexos (multiplicação, soma, inversão de complexos) de forma explícita.
Passo 3
Cálculo da 1ª coluna de [A^{-1}): resolver A x = e_1.
Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{T} e as equações de A x=e_1:
(Obs.: em cada multiplicação/inversão de complexos usei a técnica padrão: para inverter a+bi calcular \dfrac{a-bi}{a^2+b^2}, e para multiplicar expandir e usar i^2=-1.)]
Passo 4
Cálculo da 2ª coluna de [A^{-1}): resolver A x = e_2.
Mesma estratégia (usar x_1 = -x_2 - x_3\], expressar \(x_4 da segunda equação e eliminar):
Da quarta: x_1=-x_2-x_3.
Da segunda: x_4 = 1 + 2x_2 + (1 - i)x_3.
Substituir na terceira e na primeira e resolver para x_2,x_3. Fazendo as contas (multiplicações e soma de complexos, invertendo complexos quando necessário) chega-se a
Cada coluna encontrada é a coluna correspondente de A^{-1}.
Escrevendo-as lado a lado (cada linha com as entradas correspondentes às colunas 1…4), obtemos a matriz inversa completa.
(verificações rápidas: um pode conferir multiplicando A por cada coluna obtida e ver que o produto é o vetor canônico correspondente; nas contas acima fiz verificações parciais para garantir consistência.)