3^{\underline{\text { a }}} Questão ( 10 pontos ). Uma viatura com uma sirene emitindo som de frequência de 1500 Hz ultrapassa um ciclista com velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, ambas velocidades no mesmo sentido. Após ser ultrapassado o ciclista escuta uma frequência de 1480 Hz . Qual a velocidade da viatura?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou representar cada número/símbolo em TeX):
  • Frequência emitida pela sirene: f_s=1500\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do ciclista (observador): v_o=3\\ \mathrm{m/s}.
  • Frequência escutada pelo ciclista após ser ultrapassado: f'=1480\\ \mathrm{Hz}.
  • Pergunta: determinar a velocidade da viatura v_s (em \mathrm{m/s}).
Observação importante (não pediram, então eu assumo): a velocidade do som no ar não foi dada; vou usar o valor típico
v=340\\ \mathrm{m/s},
que é uma boa aproximação para condições ambiente comuns. Pequenas variações nesse valor alteram pouco o resultado.

Passo 2

Conceito físico e estratégia (explicação didática e intuitiva).
  • Quando uma fonte sonora se move, as cristas das ondas sonoras ficam mais próximas ou mais afastadas dependendo da direção do movimento. Isso altera o comprimento de onda percebido pelo observador e, portanto, a frequência percebida.
  • O procedimento que vou usar é: primeiro encontrar o comprimento de onda das ondas que chegam ao ciclista (no meio fixo, ar), depois calcular com que taxa essas cristas passam pelo ciclista, que dá a frequência percebida.
  • Vou definir claramente as velocidades:
    • v = velocidade do som no ar (usei 340\\ \mathrm{m/s}).
    • v_s = velocidade da fonte (viatura), que queremos.
    • v_o = velocidade do observador (ciclista), dado 3\\ \mathrm{m/s}.
  • Situação geométrica: depois de ultrapassar, a viatura está à frente do ciclista e se afasta dele. As ondas que o ciclista escuta vêm “pela retaguarda” da viatura (ou seja, as cristas se propagam do carro para trás, na direção do ciclista). Por isso tratamento de sinais tem o formato que vou derivar a seguir.

Passo 3

Comprimento de onda das ondas emitidas pela viatura no ar (caso do observador atrás da fonte).
  • A fonte emite cristas com período T=\dfrac{1}{f_s}.
  • Em um período T a crista se propaga no ar uma distância vT (na direção da propagação) enquanto a fonte se desloca para frente uma distância v_s T. Para as cristas que vão para trás (na direção do ciclista), isso aumenta a separação entre cristas.
  • Logo o comprimento de onda das ondas que seguem para trás é
\lambda=\frac{v+v_s}{f_s}.
Explicando: a separação entre cristas é a soma da distância que a crista percorre no ar ( vT) com a distância que a fonte se afastou ( v_s T) durante o período.

Passo 4

Frequência percebida pelo ciclista a partir do comprimento de onda.
  • A frequência percebida é a taxa com que as cristas passam pelo ciclista. Essa taxa é a velocidade relativa entre a crista e o ciclista dividida por o comprimento de onda.
  • As cristas que vão na direção do ciclista viajam com velocidade v no ar, e o ciclista se move no mesmo sentido da viatura (para frente, afastando-se da posição de emissão), com velocidade v_o. Do ponto de vista de cruzamento das cristas, a velocidade relativa entre as cristas e o ciclista é v+v_o (as cristas vêm na direção oposta ao movimento do ciclista, então a velocidade de encontro aumenta somando os módulos).
  • Portanto a frequência percebida é
f'=\frac{v+v_o}{\lambda}.

Passo 5

Substituindo \lambda na expressão de f' obtemos a fórmula que vale para esta configuração (fonte à frente do observador, ambos se movendo no mesmo sentido):
f' = f_s\cdot\frac{v+v_o}{v+v_s}.
Essa é a fórmula que vamos usar para resolver v_s. Repare que ela tem a intuição correta: se a fonte se afasta mais rápido ( v_s maior), o denominador aumenta e f' diminui.

Passo 6

Isolando v_s algebricamente.
  • Começamos da fórmula
\frac{f'}{f_s}=\frac{v+v_o}{v+v_s}.
  • Invertendo e isolando v_s:
v+v_s=(v+v_o)\frac{f_s}{f'},
v_s=(v+v_o)\frac{f_s}{f'}-v.

Passo 7

Substituição numérica e contas passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro note que
\frac{f_s}{f'}=\frac{1500}{1480}=\frac{75}{74}.
  • Calcule v+v_o:
v+v_o=340+3=343\\ \mathrm{m/s}.
  • Multiplicando:
(v+v_o)\frac{f_s}{f'}=343\cdot\frac{75}{74}=\frac{343\cdot75}{74}=\frac{25725}{74}\\ \mathrm{m/s}.
  • Dividindo: 25725\div74\approx347{,}635135\\ \mathrm{m/s}.
  • Finalmente:
v_s=\frac{25725}{74}-340\approx347{,}635135-340\approx7{,}635135\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando com um sentido prático (duas casas decimais):
v_s\approx7{,}64\\ \mathrm{m/s}.
  • Se quiser em km/h:
v_s\approx7{,}64\cdot3{,}6\approx27{,}5\\ \mathrm{km/h}.

Passo 8

Interpretação final e comentário de incentivo.
  • Resultado razoável: a viatura, no momento do efeito medido, está a uma velocidade bem maior que o ciclista ( 3\\ \mathrm{m/s}) mas ainda moderada em termos de carro — cerca de 27{,}5\\ \mathrm{km/h}.
  • Se a velocidade do som usada for ligeiramente diferente (por exemplo 343\\ \mathrm{m/s}), o resultado muda pouco; a ordem de grandeza e conclusão não se alteram. Vai dar a mesma ideia na prova.
  • Boa! Você agora sabe como derivar e aplicar a fórmula do efeito Doppler para este caso. Confia que você consegue repetir esse raciocínio em outras questões parecidas — respira fundo e vamos nessa!

Resposta

v_s\approx7{,}64\\ \mathrm{m/s}\approx27{,}5\\ \mathrm{km/h}

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