Considere uma régua de um metro, com uma massa de
, em relação a um eixo perpendicular à régua na marca de 20 cm . (Trate a régua como uma barra fina homogenea):
a. Calcule o momento de inércia.
b. Prove que usando o Teorema dos Eixos Paralelos pode se chegar ao mesmo resultado.
a. Calcule o momento de inércia.
b. Prove que usando o Teorema dos Eixos Paralelos pode se chegar ao mesmo resultado.
Passo 1
O enunciado nos dá uma régua (barra fina homogênea) com comprimento
e massa
. O eixo considerado é perpendicular à régua na marca de
(ou seja, a
de uma das extremidades). A régua é homogênea, então o centro de massa fica no ponto médio, a
da extremidade.
As perguntas são:
(a) Calcular o momento de inércia da régua em relação ao eixo na marca de por integração direta.
(b) Mostrar que aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos (teorema de Steiner) obtém-se o mesmo resultado.
As perguntas são:
(a) Calcular o momento de inércia da régua em relação ao eixo na marca de
(b) Mostrar que aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos (teorema de Steiner) obtém-se o mesmo resultado.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma):
- Definição de momento de inércia: para um corpo contínuo, o momento de inércia em torno de um eixo é
onde
é a distância do elemento de massa
ao eixo. Isso mede a “resistência” do corpo à rotação em torno desse eixo.
- Para uma barra uniforme de comprimento
e massa usaremos a densidade linear de massa
Isso significa que um pequeno segmento de comprimento
tem massa
.
- Teorema dos Eixos Paralelos (Steiner): se
é o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e é paralelo a um certo eixo, então o momento de inércia em torno desse outro eixo (deslocado uma distância do centro de massa) é
onde
é a distância entre os dois eixos. Vou provar brevemente esse teorema mais adiante.
Passo 3
Resolução por integração direta (parte a). Montando as coordenadas de cálculo:
- Coloco a origem
no eixo pedido (marca de ). - Assim a barra vai de
(extremidade próxima) até (outra extremidade), porque o comprimento total é . - A densidade linear é
Um elemento de massa é
. O momento de inércia em torno do eixo em
é
Agora calculamos a integral passo a passo:
Avaliaremos os termos numéricos:
e
. Portanto
Multiplicando por
:
Arredondando de forma razoável (dados com duas casas decimais na massa), podemos escrever
Passo 4
Prova do Teorema dos Eixos Paralelos (derivação curta e clara):
- Seja
a coordenada medida a partir do centro de massa da barra; portanto o centro de massa fica em . O momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro de massa é
- Se considerarmos um eixo paralelo deslocado uma distância
(positiva) do centro de massa, então a coordenada de um elemento em relação a esse novo eixo é . O momento de inércia em torno do novo eixo é
- Separando integrais:
Pelas definições,
,
e
. Como
(medimos a partir do centro de massa), tem-se
. Assim sobra
o que prova o teorema.
Passo 5
Aplicação prática do Teorema dos Eixos Paralelos (parte b) e comparação:
- Primeiro calculo
para uma barra homogênea de comprimento girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo centro:
Aqui
e
, então
- A distância entre o centro de massa (em
da extremidade) e o eixo na marca de é
- Então a contribuição
é
- Finalmente, pelo teorema:
Isso coincide com o resultado obtido por integração direta. Arredondando:
Resposta
(a)
(b)
(b)