(0,5) Considere uma régua de um metro, com uma massa de 0,56 \mathrm{~kg}, em relação a um eixo perpendicular à régua na marca de 20 cm . (Trate a régua como uma barra fina homogenea):
a. Calcule o momento de inércia.
b. Prove que usando o Teorema dos Eixos Paralelos pode se chegar ao mesmo resultado.

Passo 1

O enunciado nos dá uma régua (barra fina homogênea) com comprimento L=1{,}0\\ \mathrm{m} e massa M=0{,}56\\ \mathrm{kg}. O eixo considerado é perpendicular à régua na marca de 20\\ \mathrm{cm} (ou seja, a 0{,}20\\ \mathrm{m} de uma das extremidades). A régua é homogênea, então o centro de massa fica no ponto médio, a 50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m} da extremidade.
As perguntas são:
(a) Calcular o momento de inércia da régua em relação ao eixo na marca de 20\\ \mathrm{cm} por integração direta.
(b) Mostrar que aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos (teorema de Steiner) obtém-se o mesmo resultado.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma):
  • Definição de momento de inércia: para um corpo contínuo, o momento de inércia em torno de um eixo é
I=\int r^{2}\,dm,
onde r é a distância do elemento de massa dm ao eixo. Isso mede a “resistência” do corpo à rotação em torno desse eixo.
  • Para uma barra uniforme de comprimento L e massa M usaremos a densidade linear de massa
\lambda=\frac{M}{L}.
Isso significa que um pequeno segmento de comprimento dx tem massa dm=\lambda\,dx.
  • Teorema dos Eixos Paralelos (Steiner): se I_{\mathrm{CM}} é o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e é paralelo a um certo eixo, então o momento de inércia I em torno desse outro eixo (deslocado uma distância d do centro de massa) é
I=I_{\mathrm{CM}}+M d^{2},
onde d é a distância entre os dois eixos. Vou provar brevemente esse teorema mais adiante.

Passo 3

Resolução por integração direta (parte a). Montando as coordenadas de cálculo:
  • Coloco a origem x=0 no eixo pedido (marca de 20\\ \mathrm{cm}).
  • Assim a barra vai de x=-0{,}20\\ \mathrm{m} (extremidade próxima) até x=+0{,}80\\ \mathrm{m} (outra extremidade), porque o comprimento total é 1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • A densidade linear é
\lambda=\frac{M}{L}=\frac{0{,}56}{1{,}0}=0{,}56\\ \mathrm{kg/m}.
Um elemento de massa é dm=\lambda\,dx. O momento de inércia em torno do eixo em x=0 é
I=\int_{-0{,}20}^{0{,}80} x^{2}\,dm =\int_{-0{,}20}^{0{,}80} x^{2}\,\lambda\,dx.
Agora calculamos a integral passo a passo:
I=\lambda\int_{-0{,}20}^{0{,}80} x^{2}\,dx =\lambda\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-0{,}20}^{0{,}80}.
Avaliaremos os termos numéricos: 0{,}80^{3}=0{,}512 e (-0{,}20)^{3}=-0{,}008. Portanto
\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-0{,}20}^{0{,}80}=\frac{0{,}512-(-0{,}008)}{3}=\frac{0{,}520}{3}=0{,}173\overline{3}.
Multiplicando por \lambda=0{,}56:
I=0{,}56\times 0{,}173\overline{3}=0{,}0970666\ldots\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Arredondando de forma razoável (dados com duas casas decimais na massa), podemos escrever
I\approx 0{,}0971\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 4

Prova do Teorema dos Eixos Paralelos (derivação curta e clara):
  • Seja x' a coordenada medida a partir do centro de massa da barra; portanto o centro de massa fica em x'=0. O momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro de massa é
I_{\mathrm{CM}}=\int x'^{2}\,dm.
  • Se considerarmos um eixo paralelo deslocado uma distância d (positiva) do centro de massa, então a coordenada de um elemento em relação a esse novo eixo é x=x'+d. O momento de inércia em torno do novo eixo é
I=\int x^{2}\,dm=\int (x'+d)^{2}\,dm=\int (x'^{2}+2dx'+d^{2})\,dm.
  • Separando integrais:
I=\int x'^{2}\,dm + 2d\int x'\,dm + d^{2}\int dm.
Pelas definições, \int x'^{2}\,dm=I_{\mathrm{CM}}, \int dm=M e \int x'\,dm=M x'_{\mathrm{CM}}. Como x'_{\mathrm{CM}}=0 (medimos a partir do centro de massa), tem-se \int x'\,dm=0. Assim sobra
I=I_{\mathrm{CM}}+M d^{2},
o que prova o teorema.

Passo 5

Aplicação prática do Teorema dos Eixos Paralelos (parte b) e comparação:
  • Primeiro calculo I_{\mathrm{CM}} para uma barra homogênea de comprimento L girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo centro:
I_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{12} M L^{2}.
Aqui M=0{,}56\\ \mathrm{kg} e L=1{,}0\\ \mathrm{m}, então
I_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{12}\times 0{,}56\times 1{,}0^{2}= \frac{0{,}56}{12}=0{,}046\overline{6}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
  • A distância entre o centro de massa (em 0{,}50\\ \mathrm{m} da extremidade) e o eixo na marca de 0{,}20\\ \mathrm{m} é
d=0{,}50-0{,}20=0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Então a contribuição M d^{2} é
M d^{2}=0{,}56\times (0{,}30)^{2}=0{,}56\times 0{,}09=0{,}0504\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
  • Finalmente, pelo teorema:
I=I_{\mathrm{CM}}+M d^{2}=0{,}046\overline{6}+0{,}0504=0{,}0970666\ldots\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Isso coincide com o resultado obtido por integração direta. Arredondando:
I\approx 0{,}0971\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Resposta

(a) I\approx 0{,}09707\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}
(b) I\approx 0{,}09707\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}

Exercícios relacionados