1^{\underline{\mathrm{a}}} Questão:
Uma microonda linearmente polarizada, com comprimento de onda de 30 cm , propaga-se ao longo do eixo y positivo. O vetor de campo elétrico tem valor máximo de 300 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e vibra no plano zy. Considere que o campo magnético da onda possa ser escrito na forma \mathrm{B}(\mathrm{y}, \mathrm{t})=\mathrm{B} 0 sen(ky - wt). (a) Determine os valores de B0, k e w. (b) Determine a velocidade de propagação da microonda. (c) Determine o plano em que vibra o vetor de campo magnético.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Comprimento de onda: \lambda = 30\\ \text{cm} = 0,30\\ \text{m}.
  • A onda é linearmente polarizada e se propaga ao longo do eixo y positivo.
  • O módulo máximo do campo elétrico: E_0 = 300\\ \mathrm{V/m}.
  • O vetor campo elétrico "vibra no plano zy" (informação fornecida no enunciado).
  • O campo magnético é escrito como \mathrm{B}(y,t)=\mathrm{B}_0\sin(ky-\omega t).
O enunciado pede:
(a) Determinar os valores de \mathrm{B}_0, k e \omega.
(b) Determinar a velocidade de propagação da microonda.
(c) Determinar o plano em que vibra o vetor de campo magnético.

Passo 2

Entendimento físico essencial (regras que uso para resolver):
  • Uma onda eletromagnética plana no vácuo (ou ar) tem os vetores \mathbf{E}, \mathbf{B} e o vetor de propagação \mathbf{k} mutuamente perpendiculares.
  • A relação de amplitudes entre os campos é
E_0 = c\,B_0,
onde c é a velocidade da luz no vácuo (aproximadamente c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}). Aqui:
  • E_0 é a amplitude do campo elétrico em \mathrm{V/m},
  • B_0 é a amplitude do campo magnético em \mathrm{T},
  • c em \mathrm{m/s}.
  • A constante de onda k e a frequência angular \omega relacionam-se com \lambda e a frequência f:
k=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega = 2\pi f,\qquad f=\frac{c}{\lambda}.
Antes de calcular, preciso identificar a direção de \mathbf{E} a partir da informação "vibra no plano zy". Como a onda se propaga ao longo de +y, o campo elétrico deve ser perpendicular a y. A única direção dentro do plano zy perpendicular a y é a direção z. Portanto assumo que \mathbf{E} aponta ao longo do eixo z (ou seja, polarização ao longo de z).
Como \mathbf{k} é ao longo de +y e \mathbf{E} é ao longo de +z, pela regra da mão direita para ondas eletromagnéticas o campo magnético \mathbf{B} deve estar perpendicular a ambos, isto é, ao longo do eixo x. Assim \mathbf{B} vibra na direção x. (Mais detalhes sobre a regra da mão direita e justificativa no Passo 6.)

Passo 3

Cálculo de \mathrm{B}_0 usando a relação entre amplitudes:
E_0 = c\,B_0 \quad\Rightarrow\quad B_0=\frac{E_0}{c}.
Substituindo E_0=300\\ \mathrm{V/m} e c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
\mathrm{B}_0=\frac{300}{3\times10^{8}}=\frac{300}{3}\times10^{-8}=100\times10^{-8}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Portanto \mathrm{B}_0=1\times10^{-6}\\ \mathrm{T} (ou 1\\ \mu\mathrm{T}).

Passo 4

Cálculo de k e \omega.
Primeiro a frequência:
f=\frac{c}{\lambda}=\frac{3\times10^{8}}{0,30}=1{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
A frequência angular:
\omega = 2\pi f = 2\pi\times 1{,}0\times10^{9}=2\pi\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}\approx 6{,}283185\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
A constante de onda:
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0,30}\\ \mathrm{rad/m}\approx 20{,}94395\\ \mathrm{rad/m}.
(Arredondando com duas casas significativas: k\approx 20{,}94\\ \mathrm{rad/m}, \omega\approx 6{,}28\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.)

Passo 5

Velocidade de propagação (parte b):
  • Para uma microonda no vácuo (ou no ar, aproximadamente), a velocidade é
v=\lambda f.
Substituindo \lambda=0,30\\ \mathrm{m} e f=1{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}:
v=0{,}30\times 1{,}0\times10^{9}=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
que é a velocidade da luz c.

Passo 6

Plano e direção de vibração do campo magnético (parte c), com justificativa didática:
  • Regra básica: para uma onda eletromagnética plana que se propaga na direção de \mathbf{k}, tem-se \mathbf{E}\perp\mathbf{k}, \mathbf{B}\perp\mathbf{k} e \mathbf{E}\perp\mathbf{B}. Além disso o sentido de propagação é dado por \mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{B} (vetor de Poynting), que aponta na direção do transporte de energia da onda.
  • No problema: \mathbf{k} está ao longo de +y e deduzimos \mathbf{E} ao longo de +z. Tomando \mathbf{E}=E_0\hat{z} e \mathbf{B}=B_0\hat{x} obtemos
\mathbf{E}\times\mathbf{B} = (E_0\hat{z})\times(B_0\hat{x}) = E_0B_0(\hat{z}\times\hat{x}) = E_0B_0\hat{y},
pois \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}. Isso dá direção +y, consistente com a propagação indicada. Logo \mathbf{B} está na direção do eixo x.
Conclusão: o vetor campo magnético vibra ao longo do eixo x — isto é, em termos de plano, pode-se dizer que \mathbf{B} vibra no plano xy (mais precisamente, sua oscilação é ao longo da direção x). Em palavras simples: \mathbf{E} em z, \mathbf{B} em x, \mathbf{k} em y, todos perpendiculares entre si.

Resposta

(a) \mathrm{B}_0=1\times10^{-6}\\ \mathrm{T}, \;k=\dfrac{2\pi}{\lambda}\approx 20{,}94\\ \mathrm{rad/m}, \;\omega=2\pi f=2\pi\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}\approx 6{,}28\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
(b) v=c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
(c) O campo magnético vibra na direção do eixo x (isto é, sua oscilação é ao longo de x; em termos de plano: no plano xy).

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