Em um estudo para projetar um reservatório de água, a profundidade f(x, y) em metros, em função da posição ( x, y ), é dada por: f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x y.
Um engenheiro gostaria de saber se o ponto ( 0,0 ) é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, ele aplicou o teste da derivada segunda.
Com base nessas informações, calcule as derivadas parciais de segunda ordem no ponto (0,0) e assinale a alternativa correta:
Passo 1
O enunciado dá a profundidade do reservatório como a função \;f(x,y)=x^{2}+2y^{2}-xy\; e diz que o engenheiro aplicou o teste da derivada segunda no ponto (0,0).
O que é pedido: calcular as derivadas parciais de segunda ordem no ponto (0,0) e, com base nelas, decidir se (0,0) é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas: \;f(x,y)=x^{2}+2y^{2}-xy\;.
O ponto de interesse é (0,0).
Passo 2
Primeiro precisamos achar as derivadas parciais de primeira ordem. Lembre-se: a derivada parcial de f em relação a x é a derivada tratando y como constante, e a derivada parcial em relação a y é a derivada tratando x como constante.
Calculemos \;f_x\; (derivada parcial em relação a x):