2^{\underline{\text { a }}} QUESTÃO

Em um estudo para projetar um reservatório de água, a profundidade f(x, y) em metros, em função da posição ( x, y ), é dada por:
f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x y.
Um engenheiro gostaria de saber se o ponto ( 0,0 ) é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, ele aplicou o teste da derivada segunda.
Com base nessas informações, calcule as derivadas parciais de segunda ordem no ponto (0,0) e assinale a alternativa correta:

Passo 1

O enunciado dá a profundidade do reservatório como a função \;f(x,y)=x^{2}+2y^{2}-xy\; e diz que o engenheiro aplicou o teste da derivada segunda no ponto (0,0).
O que é pedido: calcular as derivadas parciais de segunda ordem no ponto (0,0) e, com base nelas, decidir se (0,0) é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
\;f(x,y)=x^{2}+2y^{2}-xy\;.
O ponto de interesse é (0,0).

Passo 2

Primeiro precisamos achar as derivadas parciais de primeira ordem. Lembre-se: a derivada parcial de f em relação a x é a derivada tratando y como constante, e a derivada parcial em relação a y é a derivada tratando x como constante.
Calculemos \;f_x\; (derivada parcial em relação a x):
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2y^{2}-xy\bigr).
Derivando termo a termo, com y constante:
  • \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = 2x,
  • \frac{\partial}{\partial x}(2y^{2}) = 0 (porque y é tratado como constante),
  • \frac{\partial}{\partial x}(-xy) = -y (pois -y é constante multiplicando x).
    Logo,
f_x = 2x - y.
Agora calculemos \;f_y\; (derivada parcial em relação a y):
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+2y^{2}-xy\bigr).
Derivando termo a termo, com x constante:
  • \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) = 0,
  • \frac{\partial}{\partial y}(2y^{2}) = 4y,
  • \frac{\partial}{\partial y}(-xy) = -x.
    Logo,
f_y = 4y - x.

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais de segunda ordem derivando f_x e f_y novamente.
Derivada segunda \;f_{xx}\; (derivar f_x em relação a x):
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(f_x) = \frac{\partial}{\partial x}(2x - y).
Derivando, com y constante: \frac{\partial}{\partial x}(2x) = 2 e \frac{\partial}{\partial x}(-y)=0. Assim
f_{xx} = 2.
Derivada mista \;f_{xy}\; (derivar f_x em relação a y):
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(f_x) = \frac{\partial}{\partial y}(2x - y).
Derivando, com x constante: \frac{\partial}{\partial y}(2x)=0 e \frac{\partial}{\partial y}(-y)=-1. Assim
f_{xy} = -1.
Também podemos calcular \;f_{yx}\; (derivar f_y em relação a x) para verificar a igualdade das mistas:
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(f_y) = \frac{\partial}{\partial x}(4y - x) = -1.
Observação: as derivadas mistas coincidem ( f_{xy}=f_{yx}=-1), o que é esperado quando as segundas derivadas são contínuas.
Por fim, \;f_{yy}\; (derivar f_y em relação a y):
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(f_y) = \frac{\partial}{\partial y}(4y - x).
Derivando: \frac{\partial}{\partial y}(4y)=4 e \frac{\partial}{\partial y}(-x)=0. Logo
f_{yy} = 4.

Passo 4

Avalie as segundas derivadas no ponto (0,0). Como as expressões obtidas são constantes (não dependem de x ou y), os valores em (0,0) são os mesmos:
f_{xx}(0,0)=2,\qquad f_{yy}(0,0)=4,\qquad f_{xy}(0,0)=-1.

Passo 5

Agora aplicamos o teste da derivada segunda (o teste que o engenheiro usou). Ele usa o discriminante (determinante da Hessiana) definido por
D = f_{xx}(0,0)\,f_{yy}(0,0) - \bigl(f_{xy}(0,0)\bigr)^{2}.
Interpretação rápida das regras:
  • Se D>0 e f_{xx}(0,0)>0 então f tem mínimo local em (0,0).
  • Se D>0 e f_{xx}(0,0)<0 então f tem máximo local em (0,0).
  • Se D<0 então (0,0) é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos D com os valores encontrados:
D = 2\cdot 4 - (-1)^{2} = 8 - 1 = 7.
Portanto D=7>0. Como além disso f_{xx}(0,0)=2>0, concluímos pelas regras que (0,0) é um mínimo local de f.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (para você usar na prova):
  1. calcular f_x e f_y tratando a outra variável como constante;
  2. calcular f_{xx},f_{xy},f_{yy};
  3. avaliar no ponto e formar D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2};
  4. aplicar as regras: aqui D=7>0 e f_{xx}=2>0 → mínimo local. Força aí — ficou bem tranquilo executar isso na prova!

Resposta

f_{xx}(0,0)=2
f_{yy}(0,0)=4
f_{xy}(0,0)=-1
(0,0) é mínimo local.

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