Durante a análise de sistemas físicos em engenharia, muitas vezes é necessário determinar áreas sob curvas de gráficos que representam velocidade, força, vazão ou outras grandezas ao longo do tempo ou da distância. A integral definida é a ferramenta matemática que possibilita esse tipo de cálculo, assumindo diferentes interpretações a depender do contexto.
Com base no exposto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. A integral definida de uma função em um intervalo representa a área sob a curva dessa função, entre os limites inferior e superior do intervalo.
PORQUE
II. A integral de uma função contínua sempre será positiva, independentemente de a função estar acima ou abaixo do eixo x.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
ALTERNATIVAS
◯ As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
◯ As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
◯ A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
◯ A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
◯ As asserções I e II são proposições falsas.
Passo 1
O enunciado apresenta duas asserções e pede que eu avalie a veracidade delas e a relação entre elas. As asserções são:
I. A integral definida de uma função em um intervalo representa a área sob a curva dessa função, entre os limites inferior e superior do intervalo.
II. A integral de uma função contínua sempre será positiva, independentemente de a função estar acima ou abaixo do eixo x.
A tarefa é escolher qual das alternativas dadas corresponde corretamente à verdade/falsidade de I e II e à relação entre elas.
Passo 2
Vamos recordar o que é a integral definida, de forma didática e passo a passo, para depois avaliar as asserções.
Definição via somas de Riemann (intuição e fórmula):
Considere uma função f definida em [a,b]. Particionamos o intervalo em n subintervalos com larguras \Delta x_i e escolhemos um ponto de amostragem x_i^* em cada subintervalo. A soma de Riemann é
S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x_i.
Se, ao refinar a partição (ou seja, fazer os \Delta x_i menores) essa soma tender para um limite único, esse limite é a integral definida:
\int_a^b f(x)\,dx: integral definida de f de a até b.
f(x_i^*): valor da função em um ponto do i-ésimo subintervalo.
\Delta x_i: largura do i-ésimo subintervalo.
A soma aproxima a “área” como somatório de retângulos de base \Delta x_i e altura f(x_i^*).
Passo 3
Interpretação geométrica: área assinada (signed area)
A interpretação geométrica da integral definida é a de “área assinada” entre a curva y=f(x) e o eixo x no intervalo [a,b]. Isso significa:
Se \,f(x)\ge 0 para todo x\in[a,b], então a integral \int_a^b f(x)\,dx é igual à área geométrica positiva da região entre a curva e o eixo x.
Se \,f(x)\le 0 para todo x\in[a,b], então a integral \int_a^b f(x)\,dx é negativa; em termos de áreas, o valor absoluto |\int_a^b f(x)\,dx| corresponde à área geométrica, mas a integral em si tem sinal negativo.
Se f muda de sinal no intervalo, a integral é a diferença entre a área acima do eixo x e a área abaixo do eixo x:
\int_a^b f(x)\,dx = (\text{área acima do eixo}) - (\text{área abaixo do eixo}).
Isso é consequência direta da soma de Riemann: quando f(x) é negativa em um subintervalo, os retângulos somados têm altura negativa e contribuem negativamente para a soma.
Passo 4
Exemplos concretos (para fixar a ideia):
Função positiva constante: f(x)=1 em [0,2].
A integral é
\int_0^2 1\,dx = 1\cdot(2-0)=2,
que coincide com a área do retângulo de base 2 e altura 1. Valor positivo.
Função negativa constante: f(x)=-1 em [0,2].
A integral é
\int_0^2 (-1)\,dx = -1\cdot(2-0) = -2.
Aqui a área geométrica da região entre a curva e o eixo é 2, mas a integral dá -2 porque a função está abaixo do eixo x. Isso demonstra que a integral pode ser negativa.
Função que muda de sinal: f(x)=x em [-1,1].
A integral é
Aqui a área acima do eixo (x>0) cancela a área abaixo do eixo (x<0), resultando em integral nula.
Passo 5
Análise das asserções com base na teoria e nos exemplos:
Sobre I: “A integral definida de uma função em um intervalo representa a área sob a curva dessa função, entre os limites inferior e superior do intervalo.”
Explicação: essa afirmação é geralmente aceita se entendermos “área” como a interpretação geométrica padrão da integral — mas devemos lembrar que a integral é a área assinada (net area). Em muitos contextos a frase é usada como sinônimo de “área assinada”. Portanto, tomada com essa interpretação, a asserção I é verdadeira.
Sobre II: “A integral de uma função contínua sempre será positiva, independentemente de a função estar acima ou abaixo do eixo x.”
Explicação: isso é falso. A continuidade de f não garante que \int_a^b f(x)\,dx seja positiva. Como vimos no exemplo de f(x)=-1 em [0,2], que é contínua, a integral vale -2. Logo, a integral pode ser negativa ou nula, dependendo do sinal de f no intervalo. A continuidade não impõe positividade.
Passo 6
Conclusão lógica sobre as opções fornecidas:
I é verdadeira (com a interpretação padrão de integral como área assinada).
II é falsa (contrexemplo: f(x)=-1 em [0,2] dá integral negativa).
Portanto a alternativa correta é a que diz que I é verdadeira e II é falsa.
Resposta
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.